排序算法之堆排序

一、什么是堆

　　如果一个完全二叉树的每个节点，都不大于它的子节点，就可以称之为堆。所谓完全二叉树，就是除了叶子节点以外，所有的其他节点，都有完整的左字树和右子树，除了最后一层的非叶子节点以外。

二、堆排序算法的大体脉络

1、对无序的数据先建一个堆，

2、输出堆顶元素，

3、然后以最后一个元素代替堆顶元素，

4、进行调整，使之仍然为一个堆。

5、重复步骤2，3，4，直到堆中只剩下一个元素。

三、堆排序算法的详细过程

1、填充

　　首先，将这些无序的数字，填充成一个完全二叉树，但这时一般是不能够满足堆的要求的。没有关系，我们后面来进行调整。先来看看填充的过程。实际上，填充的顺序就是按照树的层次遍历的顺序，即从上到下，从左到右，一层一层往下放。就这样放完一层，放二层，放完二层，放三层，直到所有的数都放完为止。

　　2、建堆

　　填充完毕后，开始建堆的过程。显然，所有的叶子节点，都满足建堆的要求，因为它没有字节点。我们可以从最后一个非叶子节点开始。如图1所示，这里就是7，它满足堆的要求，再向前看5，这个节点不满足要求，右字树比它要小，需要把它和右子树互换一下，互换后如图2所示。再向前看2，它需要和做孩子互换，互换后，如图3所示。再向前看，现在到10，和之前的情况有些不同，10比之前的两个孩子都大，那到底该和哪一个孩子交换呢？稍微考虑一下，我们应该和最小的那个孩子交换，不然的话，我们交换完以后，仍然不能满足堆的要求。换过后，如图4所示。注意，10 换下来以后，破坏了原来满足要求的字树，所以还应该再调整，10和5应该互换，互换后，如图5所示。最后是6和1换，换后如图6所示。注意，6换下来以后，破坏了原来满足要求的字树，所以还应该再调整，6和2应该互换，互换后，如图7所示。至此，一个堆就建好了。这个堆满足的性质是，所以的父节点的值都不大于它的叶子节点的值。

图1 图2 图3

图4 图5 图6

图7

　　3、筛选并输出堆顶元素

　　从初始的这个堆中，输出堆顶的这个元素。如图8所示，先输出1，然后根节点就空了。接着如图9，我们可以把最后一个元素9提拔上来，让9做根元素。显而易见，现在除了新提拔的这个根节点以外，其他的节点都满足堆的性质，那么就需要调整这个根节点。9要和左右孩子相比，与较小的孩子2互换。换后如图10所示。接着对局部的数，我们再调整，直到9落地为止，换后如图11。至此，这个完全二叉树就满足堆的要求了，我们输出2，如图12。然后，如图13，把最后一个元素10提拔上去，然后，还像之前一样，把10逐步向下调整，这个完全二叉树满足堆的要求后，输出堆顶的元素3，如图14。在堆排序的术语上，我们把较大的元素从顶层落到底层的过程称为“筛选”。然后再把最后一个元素提拔上去，在筛选，再提拔，再筛选，重复这个过程，堆变得越来越小，直至整个堆只剩下一个元素，把这个元素也输出，我们的堆排序过程也就结束了。

图8 图9 图10

图11 图12 图13

图14 图15

四、代码实现

　　堆排序可以用二叉树的结构来表示，但在实际应用中，我们还可以更节省内存空间，用一位数组来表示这个二叉树，当数据量很大的时候，一维数组占用的内存比二叉树占用的内存小很多。当然，对于一般的二叉树，我们是不能这样表示的，现在的完全二叉树具有特殊性，我们可以用一维数组来表示它。

从面向对象的角度出发，对二叉树，这要能给点一个节点，确定父节点和子节点在哪里就可以了，至于在内存中怎么存储的，并不重要。如下图所示，对于完全二叉树，给定当前节点，其父子点和子节点都是可以唯一确定的。把这些节点序号，对应到一维数组元素的下标，就可以用一维数组来表示完全二叉树了。

　　因为我们用一维数组来代替完全二叉树，所以填充的过程就免去了，可以直接进行筛选，然后提拔最后一个元素，再筛选，直至堆中只剩下最后一个元素，输出，堆排序完成。代码如下：

public class HeapSort {public static void main(String[] args) {int[] a={7,2,3,6,8,5};heapSort(a);}public static void heapSort(int[] a){//建立初始堆for(int i=(a.length-1)/2;i>=0;i--) heapOne(a,a.length,i);//边输出堆顶，边调整int n=a.length; //剩余元素数while (n>0){System.out.print(a[0]+" ");//输出堆顶元素a[0]=a[n-1];//最后一个元素移动到堆顶n--;//要排序的数组的长度减1heapOne(a,n,0);}System.out.println();}//节点K进行筛选//a:堆数据 , n:堆中有效数据的个数 ，K:待筛选的节点public static void heapOne(int[] a,int n,int k){int k1=2*k+1; //K节点的左子节点int k2=2*k+2; //K节点的右子节点if(k1>=n && k2>=n)  return;//已经是叶子了int a1=Integer.MAX_VALUE;int a2=Integer.MAX_VALUE;if(k1<n) a1=a[k1]; //左孩子值if(k2<n) a2=a[k2]; //右孩子值if(a[k]<=a1&&a[k]<=a2) return;//已经符合堆的要求了//找到左右孩子中最小的，和它交换if(a1<a2){int t=a[k];a[k]=a[k1];a[k1]=t;heapOne(a,n,k1);//继续筛选子树}else {int t=a[k];a[k]=a[k2];a[k2]=t;heapOne(a,n,k2);//继续筛选子树
        }}
}