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- 按此定义，标量对矩阵的导数是向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号表示上篇定义的矩阵，则有。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
- 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为，是对称矩阵。对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 f出发更方便。
- ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新，满足。
- 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系(dF等于中每个子块分别与dX做内积)不够简明，不便于计算和应用。
- 线性：。
- 矩阵乘法：，其中表示Kronecker积，与的Kronecker积是。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
- 转置：，A是矩阵，其中是交换矩阵(commutation matrix)。
- 逐元素乘法：，其中是用A的元素(按列优先)排成的对角阵。
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- 。可以对求导来证明，一方面，直接求导得到；另一方面，引入，有, ，用链式法则得到。
- 。
- ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。
接下来演示一些算例。
例1：，是矩阵，求。解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：，对照导数与微分的联系得到。特例：如果退化为向量， ，则根据向量的导数与微分的关系 ，得到 。例2：，是矩阵，求和。解：使用上篇中的技术可求得。为求，先求微分：，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧，对照导数与微分的联系，得到，注意它是对称矩阵。在X是对称矩阵时，可简化为。例3：，是，是，是矩阵，为逐元素函数，求。解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：，再用逐元素乘法的技巧：，再用矩阵乘法的技巧：，对照导数与微分的联系得到。
例4【一元logistic回归】：。其中是取值0或1的标量，,是向量。解：使用上篇中的技术可求得，其中为sigmoid函数。为求，先求微分：，其中为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到。推广：样本, , ，，求和。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵，向量，将l写成矩阵形式，进而可以求得。例5【多元logistic回归】：，求和。解：上篇例3中已求得。为求，先求微分：定义，，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中，第二项中，故有，其中，代入有，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到。最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是。参考资料：- 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
- Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
- Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
- HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
