神经网络中使用Batch Normalization 解决梯度问题

BN本质上解决的是反向传播过程中的梯度问题。

详细点说，反向传播时经过该层的梯度是要乘以该层的参数的，即前向有：

$h_l = w_l^Th_{l-1}$

那么反向传播时便有：

$\frac{\partial l}{\partial h_{l-1}} = \frac{\partial l}{\partial h_l} . \frac{\partial h_l}{\partial h_{l-1}} = \frac{\partial l}{\partial h_l} w_l$

那么考虑从l层传到k层的情况，有：

$\frac{\partial l}{\partial h_k} = \frac{\partial l}{\partial h_l} \prod _{i=k+1}^{l} w_i$

上面这个 $\prod_{i=k+1}^l w_i$ 便是问题所在。因为网络层很深，如果 $w_i$ 大多小于1，那么传到这里的时候梯度会变得很小比如 $0.9^{100}$ ；而如果 $w_i$ 又大多大于1，那么传到这里的时候又会有梯度爆炸问题比如 $1.1^{100}$ 。BN所做的就是解决这个梯度传播的问题，因为BN作用抹去了w的scale影响。

具体有：

$h_l=$ $BN$ ( $w_lh_{l-1}$ ) = $BN$ ( $\alpha w_lh_{l-1}$ )

那么反向求导时便有了：

$\frac{\partial h_l}{\partial h_{l-1}}=$ $\frac{\partial BN w_lh_{l-1}}{\partial h_{l-1}} =$ $\frac{\partial BN \alpha w_lh_{l-1}}{\partial h_{l-1}}$

可以看到此时反向传播乘以的数不再和 $w$ 的尺度相关，也就是说尽管我们在更新过程中改变了 $w$ 的值，但是反向传播的梯度却不受影响。更进一步：

$\frac{\partial h_l}{\partial w_l} = \frac{\partial BNw_lh_{l-1}}{\partial w_l} = \frac{1}{\alpha}.\frac{\partial BN \alpha w_l h_{l-1}}{\partial w_l}$

即尺度较大的 $w$ 将获得一个较小的梯度，在同等的学习速率下其获得的更新更少，这样使得整体 $w$ 的更新更加稳健起来。

总结起来就是BN解决了反向传播过程中的梯度问题（梯度消失和爆炸），同时使得不同scale的 $w$ 整体更新步调更一致。

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