关于sin的导数的证明

引自JetTangs的博客


几何证明:


AC切圆O于C
AO交圆O于B
CD、OF为水平线
BF为垂直线
令∠EOF = θ 求证sinθ的导数为cosθ
证:
设∠AOC的角度为x,
由弦切角定理可知∠ACB = 12x
而且∠ECD=θ
则∠BCD = 90°-θ-12x
于是

limx→0sin(90°−θ−12x)=cosθ

意思就是 当x无限接近于0时 sin(θ+x)-sinθ的差无限接近于cosθ

公式证明:

limx→0sin(θ+x)−sinθx

=limx→0sinθcosx+cosθsinx−sinθx

=limx→0cosθsinxx

因为
limx→0sinxx=1

所以结果为
cosx

为什么

limx→0sinxx=1?

当x无限接近于0, sinxx = 对边/半径弧长/半径 = 对边/弧长，无限接近于1

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