关于sin的导数的证明

引自JetTangs的博客


几何证明:


AC切圆O于C
AO交圆O于B
CD、OF为水平线
BF为垂直线
令∠EOF = θ 求证sinθ的导数为cosθ
证:
设∠AOC的角度为x,
由弦切角定理可知∠ACB = 12x
而且∠ECD=θ
则∠BCD = 90°-θ-12x
于是

limx0sin(90°θ12x)=cosθ

意思就是 当x无限接近于0时 sin(θ+x)-sinθ的差无限接近于cosθ

公式证明:

limx0sin(θ+x)sinθx

=limx0sinθcosx+cosθsinxsinθx

=limx0cosθsinxx

因为
limx0sinxx=1

所以结果为
cosx

为什么

limx0sinxx=1?

当x无限接近于0, sinxx = // = 对边/弧长,无限接近于1

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