文章出处：极客时间《数据结构和算法之美》-作者：王争。该系列文章是本人的学习笔记。

Dijkstrala算法查找图中从一个节点到另一个节点的最短路径，输出结果是最短路径以及长度。算法执行的前提条件是权重不能是负数。

起始顶点记为sid，目的节点记为tid。

数组predecessor记录了最短路径上一个节点的前驱节点。例如predecessor[3]=5，就是从节点5到节点3的路径最短。

节点Vertext，保存节点id、当前节点距离sid的最短路径值。

优先队列queue按照节点的距离排序，在堆顶的是距离值最小的节点。

每次处理一个节点node的时候，处理其每条边，计算每条边的目的节点vertexts[to].dist。如果vertexts[to].dist>vertexts[node.id].dist + 边的权重，则表示有新的最短路径，更新，并且将目的节点加入到队列中。

因为可能有多条边达到同一个节点，所以队列中可能有多个元素表示同一个节点，会有多余的操作。解决此问题可以自己写一个优先队列，实现更新元素。参考代码。

import java.util.*;public class Graph {//顶点数量private int v;//链接表private LinkedList<Edge> adjacency[];/*** 构造顶点数为v的图* @param v*/public Graph(int v) {this.v = v;adjacency = new LinkedList[v];for(int i=0;i<v;i++){adjacency[i] =  new LinkedList<>();}}/*** 添加一条边* @param sid*          源节点id* @param tid*          目的节点id* @param weight*          权重*/public void addEdge(int sid, int tid,int weight){Edge edge = new Edge(sid,tid,weight);adjacency[sid].add(edge);}/*** 计算从sid到tid的最短路径。返回值是经过路径的节点id* @param sid* @param tid* @return*/public List<Integer> dijkstrala(int sid ,int tid){Vertext[] vertexts = new Vertext[v];for(int i=0; i < v;i++){vertexts[i] = new Vertext(i);}vertexts[sid].dist = 0;//predecessor[i]=得到i的前驱节点int[] predecessor = new int[v];predecessor[sid] = -1;PriorityQueue<Vertext> queue = new PriorityQueue<>(this.v,new Comparator<Vertext>(){public int compare(Vertext o1, Vertext o2){return o1.dist - o2.dist;}});//队列中可能存在重复节点,会存在多余操作queue.offer(vertexts[sid]);while(! queue.isEmpty()){Vertext node = queue.poll();if(node.id == tid) break;if(adjacency[node.id]!=null){for(Edge edge : adjacency[node.id]){int to = edge.tid;if(vertexts[node.id].dist + edge.weight < vertexts[to].dist){vertexts[to].dist = vertexts[node.id].dist + edge.weight;queue.add(vertexts[to]);predecessor[to] = node.id;}}}}List<Integer> path = new ArrayList<Integer>();if(vertexts[tid].dist < Integer.MAX_VALUE){visitPredecessor(predecessor,tid,path);Collections.reverse(path);}return path;}private void visitPredecessor(int[] predecessor, int tid,List<Integer> path) {path.add(tid);if(predecessor[tid] != -1){visitPredecessor(predecessor,predecessor[tid],path);}}private class Vertext{//编号private int id;//距离private int dist = Integer.MAX_VALUE;public Vertext(int id) {this.id = id;}}private class Edge{private int sid;private int tid;private int weight;public Edge(int sid, int tid, int weight) {this.sid = sid;this.tid = tid;this.weight = weight;}}
}

时间复杂度是:O(ElogV)。程序主体是一个while循环，里面是一个for循环。因为每次for循环次数不定，但是所有for循环执行次数之和不会超过E（边的个数）。换句话说第一个执行E0、第二次执行E1、…第V次执行EV，E0+E1+…+Ev=E。（这里先假设队列中每个节点只有一个元素）
for循环里面是队列的入队、出队操作。假设队列中每个节点只有一个元素，那么队列不会超过V。所以入队、出队操作时间复杂度logV。那么总的时间复杂度是O(ElogV)。

队列中有重复元素，队列的最大不会超过E。那入队、出队操作时间复杂度是logE。$E<=V^2$,$logE<=2logV$。总时间复杂度还是O(E*logV)这个级别。如果在稀疏图中，这个时间复杂度是可以接受的。但在某些情况下会很糟糕。可以考虑在队列中更新节点。参考代码。