在上一期,我们介绍了一种特殊的数据结构 “哈夫曼树”,也被称为最优二叉树。没看过的小伙伴可以点击下方链接:
漫画:什么是 “哈夫曼树” ?
那么,这种数据结构究竟有什么用呢?我们今天就来揭晓答案。
计算机系统是如何存储信息的呢?
计算机不是人,它不认识中文和英文,更不认识图片和视频,它唯一“认识”的就是0(低电平)和1(高电平)。
因此,我们在计算机上看到的一切文字、图像、音频、视频,底层都是用二进制来存储和传输的。
从狭义上来讲,把人类能看懂的各种信息,转换成计算机能够识别的二进制形式,被称为编码。
编码的方式可以有很多种,我们大家最熟悉的编码方式就属ASCII码了。
在ASCII码当中,把每一个字符表示成特定的8位二进制数,比如:
显然,ASCII码是一种等长编码,也就是任何字符的编码长度都相等。
为什么这么说呢?让我们来看一个例子:
假如一段信息当中,只有A,B,C,D,E,F这6个字符,如果使用等长编码,我们可以把每一个字符都设计成长度为3的二进制编码:
如此一来,给定一段信息 “ABEFCDAED”,就可以编码成二进制的 “000 001 100 101 010 011 000 100 011”,编码总长度是27。
但是,这样的编码方式是最优的设计吗?如果我们让不同的字符对应不同长度的编码,结果会怎样呢?比如:
如此一来,给定的信息 “ABEFCDAED”,就可以编码成二进制的 “0 00 10 11 01 1 0 10 1”,编码的总长度只有14。
哈夫曼编码(Huffman Coding),同样是由麻省理工学院的哈夫曼博所发明,这种编码方式实现了两个重要目标:
1.任何一个字符编码,都不是其他字符编码的前缀。
2.信息编码的总长度最小。
哈夫曼编码的生成过程是什么样子呢?让我们看看下面的例子:
假如一段信息里只有A,B,C,D,E,F这6个字符,他们出现的次数依次是2次,3次,7次,9次,18次,25次,如何设计对应的编码呢?
我们不妨把这6个字符当做6个叶子结点,把字符出现次数当做结点的权重,以此来生成一颗哈夫曼树:
这样做的意义是什么呢?
哈夫曼树的每一个结点包括左、右两个分支,二进制的每一位有0、1两种状态,我们可以把这两者对应起来,结点的左分支当做0,结点的右分支当做1,会产生什么样的结果?
这样一来,从哈夫曼树的根结点到每一个叶子结点的路径,都可以等价为一段二进制编码:
上述过程借助哈夫曼树所生成的二进制编码,就是哈夫曼编码。
现在,我们面临两个关键的问题:
首先,这样生成的编码有没有前缀问题带来的歧义呢?答案是没有歧义。
因为每一个字符对应的都是哈夫曼树的叶子结点,从根结点到这些叶子结点的路径并没有包含关系,最终得到的二进制编码自然也不会是彼此的前缀。
其次,这样生成的编码能保证总长度最小吗?答案是可以保证。
哈夫曼树的重要特性,就是所有叶子结点的(权重 X 路径长度)之和最小。
放在信息编码的场景下,叶子结点的权重对应字符出现的频次,结点的路径长度对应字符的编码长度。
所有字符的(频次 X 编码长度)之和最小,自然就说明总的编码长度最小。
private
Node root;
private
Node[] nodes;
//构建哈夫曼树
public
void createHuffmanTree(int[] weights)
{
//优先队列,用于辅助构建哈夫曼树
Queue<Node> nodeQueue =
new
PriorityQueue<>();
nodes =
new
Node[weights.length];
//构建森林,初始化nodes数组
for(int i=0; i<weights.length; i++){
nodes[i]
=
new
Node(weights[i]);
nodeQueue.add(nodes[i]);
}
//主循环,当结点队列只剩一个结点时结束
while
(nodeQueue.size()
>
1)
{
//从结点队列选择权值最小的两个结点
Node left = nodeQueue.poll();
Node right = nodeQueue.poll();
//创建新结点作为两结点的父节点
Node parent =
new
Node(left.weight + right.weight, left, right);
nodeQueue.add(parent);
}
root = nodeQueue.poll();
}
//输入字符下表,输出对应的哈夫曼编码
public
String convertHuffmanCode(int index)
{
return nodes[index].code;
}
//用递归的方式,填充各个结点的二进制编码
public
void encode(Node node,
String code){
if(node ==
null){
return;
}
node.code = code;
encode(node.lChild, node.code+"0");
encode(node.rChild, node.code+"1");
}
public
static
class
Node
implements
Comparable<Node>{
int weight;
//结点对应的二进制编码
String code;
Node lChild;
Node rChild;
public
Node(int weight)
{
this.weight = weight;
}
public
Node(int weight,
Node lChild,
Node rChild)
{
this.weight = weight;
this.lChild = lChild;
this.rChild = rChild;
}
@Override
public
int compareTo(Node o)
{
return
new
Integer(this.weight).compareTo(new
Integer(o.weight));
}
}
public
static
void main(String[] args)
{
char[] chars =
{'A','B','C','D','E','F'};
int[] weights =
{2,3,7,9,18,25};
HuffmanCode huffmanCode =
new
HuffmanCode();
huffmanCode.createHuffmanTree(weights);
huffmanCode.encode(huffmanCode.root,
"");
for(int i=0; i<chars.length; i++){
System.out.println(chars[i]
+":"
+ huffmanCode.convertHuffmanCode(i));
}
}
这段代码中,Node类增加了一个新字段code,用于记录结点所对应的二进制编码。
当哈夫曼树构建之后,就可以通过递归的方式,从根结点向下,填充每一个结点的code值。
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