【JZOJ4819】【NOIP2016提高A组模拟10.15】算循环

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输入

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输出

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样例输入

167 198

样例输出

906462341

数据范围

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解法

f(n)=ni=1ig(n)=ni=1i2
易得ans=ni=1mj=1f(ni+1)f(mj+1)
等价于ans=ni=1mj=1f(i)f(j)
显然f(n)=n(n1)/2
拆开得ans=14ni=1mj=1i(i+1)j(j+1)
再得

ans=14i=1ni(i+1)j=1mj(j+1)=14i=1n(f(i)+g(i))j=1m(f(j)+g(j))

其中g(n)=16n(n+1)(2n+1)

时间复杂度为O(log),逆元有复杂度。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ln(x,y) ll(log(x)/log(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const char* fin="loop.in";
const char* fout="loop.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll mo=1000000007;
ll n,m,i,j,k,l,tmp,tmd,num,ans;
ll qpower(ll a,ll b){ll c=1;while (b){if (b&1) c=a*c%mo;a=a*a%mo;b>>=1;}return c;
}
ll N(int a){return qpower(a,mo-2);
}
ll sum(ll st,ll num){st%=mo;num%=mo;ll en=(st+num-1)%mo;return (st+en)%mo*num%mo*N(2)%mo;
}
ll xsum(ll n){n%=mo;return n*(n+1)%mo*(2*n+1)%mo*N(6)%mo;
}
ll count(ll v){return (sum(1,v)+xsum(v))%mo;
}
int main(){freopen(fin,"r",stdin);freopen(fout,"w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);ans=count(n)*count(m)%mo*N(4)%mo;printf("%lld",ans);return 0;
}

启发

的运算性质

1.(a+b)=a+b
2.abab=aabb
3.ikf(i)=kf(i)

ni=1i2公式

ni=1i2=16n(n+1)(2n+1)
证明:
利用数学归纳法检验。
g(n)=ni=1i2
先有

g(1)=16123=1=i=1ni2

如果g(x)满足g(x)=16x(x+1)(2x+1)
g(x+1)=16x(x+1)(2x+1)+(x+1)2=16(x+1)(6x+6+x(2x+1))=16(x+1)(2x2+7x+6)=16(x+1)(x+2)(2x+3)=16(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]

综上得证。

转载于:https://www.cnblogs.com/hiweibolu/p/6714869.html

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