【codeforces 749E】 Inversions After Shuffle

http://codeforces.com/problemset/problem/749/E (题目链接)

题意

　　给出一个1~n的排列，从中等概率的选取一个连续段，设其长度为l。对连续段重新进行等概率的全排列，求排列后整个原序列的逆序对的期望个数。

Solution

　　考虑对于每一对数${(a_i,a_j),i<j}$算贡献。

---

 　　1.连续段包含${a_i,a_j}$

　　不妨设${a_i<a_j}$，则只有当排列后${a_j}$再${a_i}$前面才会对答案有贡献（${a_i>a_j}$的情况同理），连续段长度为${l}$。

　　于是满足${a_i}$在${a_j}$前面的排列数为${P_l^{l-2}}$，概率：${\frac{P_l^{l-2}}{P_l^l}=\frac{1}{2}}$。

　　满足包含${a_i}$和${a_j}$的连续段有${i*(n-j+1)}$个，其概率为：${\frac{2*i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$。

　　所以其期望等于两个概率相乘：

　　$${q_{i,j}=\frac{i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$$

　　这是${O(n^2)}$的，考虑优化。总期望：

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  q_{i,j}}$$

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  \frac{i*(n-j+1)}{n*(n+1)}}$$

　　发现${(n-j+1)}$是连续的，于是就变成了：

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \frac {i*(n-i)*(n-i+1)} {2*n*(n+1)}}$$

　　这样复杂度就是${O(n)}$的了。

---

　　2.连续段不同时包含${a_i,a_j}$

　　如果${a_i<a_j}$，那么因为不被连续段同时包含，它们不会有机会改变相对位置，所以不会对答案做出贡献。考虑${a_i>a_j}$的情况。

　　那么连续段可能取到的区间有：${[1,j-1],[i+1,n]}$。考虑到区间${[i+1,j-1]}$被算了2次，容斥一下，所以区间的概率：

　　$${P_{i,j}=\frac  {(j-1)*j+(n-i)*(n-i+1)-(j-i-1)*(j-i)}  {n*(n+1)}}$$

　　$${P_{i,j}=\frac  {(n^2+n)-(2*i+2*n*i)+2*i*j}  {n*(n+1)}}$$

　　这个${P_{i,j}}$怎么快速求解呢，考虑逆序对这个东西。

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \sum_{j=i+1}^n  \frac  {(n^2+n)-(2*i+2*n*i)+2*i*j}  {n*(n+1)}}$$

　　设满足${a_j<a_i,j>i}$的${a_j}$的个数为${x}$，显然${x}$我们可以通过树状数组用求逆序对的方法${O(nlogn)}$的求出来，则：

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \frac  {x*((n^2+n)-(2*i+2*n*i))  +  \sum_{j=i+1}^n 2*i*j}  {n*(n+1)}}$$

　　那么现在${\sum_{j=i+1}^n 2*i*j}$怎么求呢。把${2*i}$提出去，那么就成了${2*i*\sum_{j=i+1}^n j}$我们用${y}$记录满足${a_j<a_i,j>i}$的${a_j}$的位置的和，也就是${\sum_{j=i+1}^n j}$，那么显然这个东西我们也是可以通过树状数组用求逆序对的方法${O(nlogn)}$的算出来的。则：

　　$${Q=\sum_{i=1}^n  \frac  {x*((n^2+n)-(2*i+2*n*i))  +  2*i*y}  {n*(n+1)}}$$

　　于是问题就${O(nlogn)}$的解决了。

细节

　　mdzz不晓得哪里爆掉了还是精度问题，调了2天，最后莫名AC。。。

代码

// codeforces 749E
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 1<<30
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;const int maxn=100010;
LL c[maxn],s[maxn],n;
int a[maxn];
long double ans;int lowbit(int x) {return x&-x;
}
void add(LL *c,int x,LL val) {for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=val;
}
LL query(LL *c,int x) {LL res=0;for (int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=c[i];return res;
}void solve1() {   //区间包含long double Q=0;for (LL i=1;i<=n;i++)Q+=(long double)(i*(n-i)*(n-i+1))/2/n/(n+1);ans+=Q;
}
void solve2() {   //区间不包含long double Q=0;for (int i=n;i>=1;i--) {LL x=query(c,a[i]-1);Q-=(long double)(x*((2*i+2*n*i)-(n*n+n)))/n/(n+1);Q+=(long double)(2*i)/n/(n+1)*query(s,a[i]-1);add(c,a[i],1);add(s,a[i],i);}ans+=Q;
}
int main() {scanf("%lld",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);solve1();solve2();printf("%.20Lf",ans);return 0;
}

贴一个暴力，供参考：

// codeforces 749E
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 1<<30
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;const int maxn=100010;
LL c[maxn],s[maxn],n;
int a[maxn];
long double ans;int main() {freopen("aaa.in","r",stdin);freopen("ccc.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for (LL i=1;i<=n;i++)ans+=(long double)(i*(n-i)*(n-i+1))/(2*n*(n+1));long double res=0;for (LL i=n;i>=1;i--) {for (LL j=i+1;j<=n;j++)if (a[i]>a[j]) res+=(long double)((j-1)*j+(n-i)*(n-i+1)-(j-i-1)*(j-i))/(n*(n+1));}ans+=res;printf("%.20Lf",ans);return 0;
}