最详细的后缀数组

写在前面：

多余的我就不提了，只是觉得网上的博客吧流程，每个数组存的是下标还是值，都讲的不是很清楚（让我这种蒟蒻很是困扰）

相信到现在这种水平的都可以知道什么是倍增，为什么能倍增都比较清楚了，但是代码实现总感觉怪怪的…… 本文的定位就是想把代码实现的部分讲清楚…… 现在请听我娓娓道来……

清爽代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;const int MAX=1e6+5;
int n,m;
int tax[MAX],rak[MAX],tp[MAX],sa[MAX];
char s[MAX];void sort(int a[],int b[]){for(int i=0;i<=m;i++)tax[i]=0;for(int i=1;i<=n;i++)tax[a[i]]++;for(int i=1;i<=m;i++)tax[i]+=tax[i-1];for(int i=n;i>=1;i--)sa[tax[a[b[i]]]--]=b[i];
}bool comp(int r[],int a,int b,int k){return r[a]==r[b]&&r[a+k]==r[b+k];
}void get_sa(int a[],int b[]){for(int i=1;i<=n;i++)m=max(m,a[i]=s[i]-'0'),b[i]=i;sort(a,b);for(int p=0,j=1;p<n;j<<=1,m=p){p=0;for(int i=1;i<=j;i++)b[++p]=n-j+i;for(int i=1;i<=n;i++)if(sa[i]>j)b[++p]=sa[i]-j;sort(a,b);int *t=a;a=b;b=t;a[sa[1]]=p=1;for(int i=2;i<=n;i++)a[sa[i]]=comp(b,sa[i],sa[i-1],j)?p:++p;}
}int main(){scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);get_sa(rak,tp);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sa[i]);
}

洛谷模板：后缀排序

一些定义：

看了上面的代码，你应该对后缀数组有了一个初步的印象吧（复杂、玄学而又美丽的代码）

我们先看看数组的定义：

1. sa[i]=j ，表示第 i 名的后缀是从 j 开始的（注意存的是下标）
2. rank[i]=j ，从 i 开始的后缀是第 j 名的（和 sa 互逆，是排名（值））
3. tp[i] (b[i]) =j，第二关键字为 i 的后缀是从 j 开始的 （相当于是第二关键字的 sa 数组，存的是下标）
4. tax[i]=j，表示第一关键字为 i 的数，有 j 个（基数排序时用的桶，是值）

知道了这些，相信你可以初步理解了吧（我都不信）

我们看看后缀排序的流程

这是算法的具体流程，但是为什么跟上面的代码似乎看不出来有什么联系……

我们把现在就把代码都解剖一下，细嚼慢咽食用更佳。

基数排序

当然你可以想到，我们是否能把关键字放到 pair 里，sort 一遍不就行了？

但是这样是 \(log^2\) 的，不是那么优秀，我们可以用一种比 sort 更快的方法——基数排序。

void sort(int a[],int b[]){for(int i=0;i<=m;i++)tax[i]=0;for(int i=1;i<=n;i++)tax[a[i]]++;for(int i=1;i<=m;i++)tax[i]+=tax[i-1];for(int i=n;i>=1;i--)sa[tax[a[b[i]]]--]=b[i];
}

别看他有这么一个高大尚的名字，其实他和桶排是同一个妈生的……

看代码：（n是字符串长度，m是数字的总数）

for(int i=0;i<=m;i++)tax[i]=0;

桶清零，不用说……

for(int i=1;i<=n;i++)tax[a[i]]++;

每个数放进各自的桶……

for(int i=1;i<=m;i++)tax[i]+=tax[i-1];

加上前边的桶的值，也就是现在这个值的排名……

for(int i=n;i>=1;i--)sa[tax[a[b[i]]]--]=b[i];

这行挺复杂
第一关键字（a 那层），第二关键字从大到小（b 那层），的桶内有多少个数（tax 那层），现在的这名，就是 b[i]（sa 那层），然后桶内的数就减去一。

说的有点绕……这真心不好解释（可能是我的语言表达能力欠佳吧）

剩下的……

for(int p=0,j=1;p<n;j<<=1,m=p)

倍增嘛（又是这图）

for(int i=1;i<=j;i++)b[++p]=n-j+i;
for(int i=1;i<=n;i++)if(sa[i]>j)b[++p]=sa[i]-j;

这是更新第而关键字
第一个for，就是说后面越界的数关键字为零，当然排在前面。
第二个for，按排名，如果这个后缀在 j 后，就能做为 sa[i]-j 的第二关键字。

sort(a,b);
int *t=a;a=b;b=t;
a[sa[1]]=p=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
a[sa[i]]=comp(b,sa[i],sa[i-1],j)?p:++p;

基数排序并更新第一关键字。
swap 一下只是因为不想多开一个数组，没有别的意思，现在 a 是新关键字，b 是旧关键字。
第一名的第一关键字肯定是 1 啦。
从二开始，如果现在的这名和前一名的两个关键字相等就是并列，否则就排到后一名。

comp 代码……

bool comp(int r[],int a,int b,int k){return r[a]==r[b]&&r[a+k]==r[b+k];
}

完了吗？

后缀排序的部分到这里就已经结束了……

但是光有个后缀排序有什么实质性的用处吗？

了解过的同学应该知道，有这么一个 height 数组，height[i] 表示的是，排名为 i 的后缀与排名为 i-1 的后缀的 LCP（最长公共前缀）

有了这个东东，就可以在后缀数组上乱搞，许多问题都能迎刃而解……

但怎么求是个问题，朴素的 \(n^2\) …… 算了吧

我们有这样一个性质 \(height[i+1] \ge height[i]-1\)

根据这样的性质，可以 \(O(n)\) 求 height

for(int i=1,j=0;i<=n;i++){if(j)j--;while(s[i+j]==s[sa[rak[i]-1]+j])j++;height[rak[i]]=j;
}

好了真的完了，这里不多说理论，目的只是填一下代码实现的坑，后缀数组的模板代码已经完了，希望有助于大家理解，再也不用痛苦的背板了……（卒）