CF989E A Trance of Nightfall（概率+矩阵快速幂优化+倍增）

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【题目分析】

在zxy大佬的讲解下终于懂了这道题的做法了qwq。。。

首先根据题意，出发点不一定在特殊点上，但第一次操作后，之后所有的操作都是在特殊点上，所以先考虑从线上出发的最大概率，再加一步即可得到从点出发的最大概率，二者取较大值即可。

记数组f[i][j][k]表示从i点走k步到j点的概率，所以转移方程就出来了：

然后发现这个形式其实就是矩阵乘法，所以可以利用矩阵快速幂优化，计算出走2^i步的概率。

但每次都进行一次快速幂的计算复杂度为O(n^3log(q))，所以继续优化。

因为我们只需要考虑最后到达t的最大概率，所以在进行矩阵乘法的时候很多位置都是没用的，所以考虑将初始矩阵简化为一个1*n的矩阵，表示走0步到达t的概率，显然只有base[t]=1，其他位置均为0。

然后将操作数进行二进制拆分进行左乘，因为初始矩阵只有1行，所以不管乘几次都只有一行，这样直接优化了一个n的复杂度。

从直线开始就是比从点开始少了一步（因为要先走到点上），所以就先处理从直线开始走的情况统计答案，最后再计算一次就可以得到从点开始走的概率。

考虑构造f[i][j][0]，显然从i点走一步到达j点的概率为(1/(经过i点直线数)*（直线i,j上的点数）)，根据这个构造即可。

然后就是各种小细节。。。

1.直线去重，这样可以避免进行重复计算。

2.将一个vector的值赋给另一个vector的时候加个传址符会快一点。

3.在计算f数组和base数组的时候如果f[i][j][k]或g[i]已经小于1e-6了，那么其实并没有必要继续计算下去了，因为精度太小反而可能会爆炸，而且题目也说了误差在1e-6以内即可，这样大大减少运行时间。

【代码~】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=201;
const int MAXM=15;int n,q;
int x[MAXN],y[MAXN];
int vis[MAXN],cnt[MAXN];
double ans;
double f[MAXN][MAXN][MAXM+1];
double Base[MAXN],zy[MAXN];
vector<int> point[MAXN][MAXN];
vector<pair<int,int> > line; inline int Read(){int i=0,f=1;char c;for(c=getchar();(c>'9'||c<'0')&&c!='-';c=getchar());if(c=='-')f=-1,c=getchar();for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';return i*f;
}bool check(int a,int b,int c){return (y[b]-y[a])*(x[c]-x[a])==(y[c]-y[a])*(x[b]-x[a]);
}int main(){n=Read();for(int i=1;i<=n;++i)x[i]=Read(),y[i]=Read();for(int i=1;i<=n;++i){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int j=1;j<=n;++j){if(i==j)continue;if(vis[j])continue;cnt[i]++;for(int k=1;k<=n;++k){if(check(i,j,k)){point[i][j].push_back(k);vis[k]=1;}}line.push_back(make_pair(point[i][j][0],point[i][j][1]));}}sort(line.begin(),line.end());line.erase(unique(line.begin(),line.end()),line.end());int siz1=line.size();for(int i=0;i<siz1;++i){vector<int> &vec=point[line[i].first][line[i].second];int siz2=vec.size();for(int j=0;j<siz2;++j){for(int k=0;k<siz2;++k){f[vec[j]][vec[k]][0]+=1.0/siz2*1.0;}}}for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){f[i][j][0]/=cnt[i];}}for(int i=1;i<=MAXM;++i){for(int j=1;j<=n;++j){for(int k=1;k<=n;++k){if(f[j][k][i-1]>1e-6){for(int t=1;t<=n;++t){f[j][t][i]+=f[j][k][i-1]*f[k][t][i-1];}}}}}q=Read();while(q--){int t=Read(),step=Read()-1;memset(Base,0,sizeof(Base));Base[t]=1;for(int i=0;i<=MAXM;++i){if((1<<i)>step)break;if((1<<i)&step){memset(zy,0,sizeof(zy));for(int j=1;j<=n;++j){if(Base[j]>1e-6){for(int k=1;k<=n;++k){zy[k]+=f[k][j][i]*Base[j];}}}memcpy(Base,zy,sizeof(zy));}}ans=0.0;int siz=line.size();for(int i=0;i<siz;++i){vector<int> &vec=point[line[i].first][line[i].second];double tot=0.0;int siz2=vec.size();for(int j=0;j<siz2;++j){tot+=Base[vec[j]];}tot/=1.0*siz2;ans=max(ans,tot);}memset(zy,0,sizeof(zy));for(int i=1;i<=n;++i){if(Base[i]>1e-6){for(int j=1;j<=n;++j){zy[j]+=Base[i]*f[j][i][0];}}}memcpy(Base,zy,sizeof(zy));for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,Base[i]);printf("%.10lf\n",ans);}return 0;
}