jzoj4640. 【GDOI2017模拟7.15】妖怪

Description

Input

Output

Sample Input

3
1 1
1 2
2 2

Sample Output

8.0000

Data Constraint

题解

我还挺喜欢数学的呢
这题一眼看上去不会，化化式子没想到未知数竟然是一个反比例+一次函数的样子。
长这样：ax+bx\frac a x+bxxa​+bx
当时心态就没了。
原来这玩意是一个在高中叫做双勾函数（或对勾函数或耐克函数）
很好，于是我们就看看这个玩意长什么样——

既然是长这个样子，那么应该就有一个顶点（最小点）。
利用均值不等式可以得到——
(aba,2ab)(\frac{\sqrt{ab}}a,2\sqrt{ab})(aab​​,2ab​)
由于图中有很多很多的双勾函数，那么其中必然有一些线没有用的。
我们考虑删去这些没有用的

怎么删？
首先我们对于任意两点——满足
ai&lt;aj且yi&lt;yj（答案）a_i&lt;a_j且y_i&lt;y_j（答案）ai​<aj​且yi​<yj​（答案）
那么
ai+bi+ai∗x+bix&lt;aj+bj+aj∗x+bjxa_i+b_i+a_i*x+\frac{b_i}{x}&lt;a_j+b_j+a_j*x+\frac{b_j}{x}ai​+bi​+ai​∗x+xbi​​<aj​+bj​+aj​∗x+xbj​​
化一波式子得到：
x&gt;bi−bjaj−aix&gt;\frac{b_i-b_j}{a_j-a_i}x>aj​−ai​bi​−bj​​
设c[i,j]=bi−bjaj−aic[i,j]=\frac{b_i-b_j}{a_j-a_i}c[i,j]=aj​−ai​bi​−bj​​
则我们对于一个$c[i,j]>c[j,k]$那么j这个点就是没有用的。
所以说，我们就得到一个序列$d$，序列满足c[di−1,di]&lt;c[di,di+1]c[d_{i-1},d_i]&lt;c[d_i,d_{i+1}]c[di−1​,di​]<c[di​,di+1​]
这个东东是递增的。
那么我们发现：当$x$在c[di−1,di]c[d_{i-1},d_i]c[di−1​,di​]到c[di,di+1]c[d_i,d_{i+1}]c[di​,di+1​]这段区间内时，did_idi​的函数值是最大的。
因此，我们在did_idi​的函数上判断这段区间的最小值即可。
怎么判断？可能有三种情况：
1、在顶点左边。
2、在顶点右边。
3、横跨顶点。

$O(n)$求即可。

代码

vari,j,k,l,n,m,now:longint;a,b,d:array[0..1000003] of longint;op,oq,x,y,ans,aa,bb:extended;
function min(x,y:extended):extended;
beginif x<y then exit(x);exit(y);
end;
procedure qsort(l,r:longint);
vari,j,m,m1:longint;
begini:=l;j:=r;m:=a[(l+r) div 2];m1:=b[(l+r) div 2];repeatwhile (a[i]<m) or ((a[i]=m) and (b[i]<m1)) do inc(i);while (a[j]>m) or ((a[j]=m) and (b[j]>m1)) do dec(j);if i<=j thenbegina[0]:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=a[0];b[0]:=b[i];b[i]:=b[j];b[j]:=b[0];inc(i);dec(j);end;until i>j;if l<j then qsort(l,j);if r>i then qsort(i,r);
end;
function pd(i:longint):boolean;
varx,y,op,oq:extended;
beginx:=b[d[now]]-b[d[now-1]];y:=a[d[now-1]]-a[d[now]];op:=x/y;x:=b[i]-b[d[now]];y:=a[d[now]]-a[i];oq:=x/y;if op>oq then exit(true);exit(false);
end;
begin//assign(input,'monster.in');reset(input);readln(n);for i:=1 to n dobeginread(a[i],b[i]);end;qsort(1,n);now:=1;d[1]:=1;for i:=2 to n dobeginif a[i]>a[1] thenbegininc(now);d[now]:=i;j:=i;break;end;end;for i:=j+1 to n dobeginif a[i]>a[d[now]] thenbeginwhile (now>=2) and (pd(i)) do dec(now);inc(now);d[now]:=i;end;end;ans:=maxlongint;for i:=2 to now-1 dobeginx:=b[d[i]]-b[d[i-1]];y:=a[d[i-1]]-a[d[i]];op:=x/y;x:=b[d[i+1]]-b[d[i]];y:=a[d[i]]-a[d[i+1]];oq:=x/y;aa:=a[d[i]];bb:=b[d[i]];if op>sqrt(aa*bb)/aa then ans:=min(ans,aa*op+bb/op+aa+bb);if oq<sqrt(aa*bb)/aa then ans:=min(ans,aa*oq+bb/oq+aa+bb);if (op<=sqrt(aa*bb)/aa) and (oq>=sqrt(aa*bb)/aa) then ans:=min(ans,2*sqrt(aa*bb)+aa+bb);end;x:=b[d[now]]-b[d[now-1]];y:=a[d[now-1]]-a[d[now]];aa:=a[d[now]];bb:=b[d[now]];op:=x/y;if op>sqrt(aa*bb)/aa then ans:=min(ans,aa*op+bb/op+aa+bb)else ans:=min(ans,2*sqrt(aa*bb)+aa+bb);writeln(ans:0:4);
end.