写在前面：

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如果能够耐得住寂寞看完，必定有所收获。千万不要只看，更要动手算。拿出自己的演草纸吧，自己动手，丰衣足食。

关于二级结论如何使用我就不再多做赘述了，一定要摆正心态，那就是：

欲用此定理，并证此定理！

欲用此定理，并证此定理！

欲用此定理，并证此定理！

敲黑板，说三遍~~~

如果自己能够完全证明出来，我觉得根本不用刻意去记，这些东西已经和你融为一体了~~学习数学大法的最高境界啊！

学习方法的链接，真是吐了老血了：

数列部分

奇偶型数列处理方式：

若

则

(合二为一)

常见求和公式：

上面四个务必掌握，下面四个选择性掌握即可（建议记忆立方和）:

无穷等比数列{an}的和：

数列中错位相减法的套路化公式：

为公差为d的等差数列，

为公比为q的等比数列，若数列

满足

，则数列

的前n项和为

求数列

的前n项的和:

（1）错位相减套公式：

数列

的前n项和

其中：

（2）化常数列求和：

（3）导数法求和：

数列不动点问题：

定义：方程

的根称为函数

的不动点

利用递推数列

的不动点，可将某些递推关系

所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

定理1：若

是

的不动点，

满足递推关系

，则

，即

是公比为

的等比数列.

定理2：设

满足递推关系

，初值条件

(1)若

有两个相异的不动点

，则

（这里

）

(2)若

只有唯一不动点

，则

（这里

）

定理3：设函数

有两个不同的不动点

,且由

确定的数列 ,那么当且仅当

时,

等差数列中前n项和Sn的最值问题：

若

则前m项和Sm最大；

若

则前m项和Sm最小．

如果前n项和

(A,B是常数n∈N*)，则也可按二次函数求最值．

设a1>0(<0)，且Sp＝Sq

若p＋q是偶数，则

时， Sn最大（最小）；

若p＋q是奇数，则

时，Sn最大（最小）

等差数列{an}的性质：（设m、n、p、q∈N*）

（1）如果m＋n＝2p， 则

；

（2）如果m＋n＝p＋q，则

（3）在等差数列中等距离的取出若干项也构成等差数列；

（4）在等差数列中依次取出若干个n项，其和也构成等差数列，即

也为等差数列，公差为

；

图示理解：

（5）

（6）两个等差数列

与

的和差的数列

仍为等差数列．

（7）等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn ,Tn ,则

证明过程：

等比数列{an}的性质：（设m、n、p、q∈N*）

（1）如果m＋n＝2p， 则

；

（2）如果m＋n＝p＋q，则

（3）在等比数列中等距离的取出若干项也构成等比数列；

（4）在等比数列(公比q≠－1)中依次取出若干个n项，其和也构成等比数列，即

也为等比数列，公比为

；

图示理解：

（5）两个等比数列积、商的数列仍为等比数列；

（6）等比数列各项的乘方、开方、倒数的数列仍为等比数列．

（7）等比数列{an}的连续n项的积构成的数列：

仍为等比数列．

（8）

是等比数列，则

是等差数列．

等差数列和等比数列Sn中系数的特征：

中的常数项为0是等差数列前n项和的重要特征

中的

的系数A与常数项－A互为相反数是公比不为1的等比数列前n项和的重要特征。

等差数列与等比数列奇偶项问题：

在等差数列中，

当项数为2n时，S偶 −S奇 =nd；

当项数为2n−1时，S奇 −S偶 =an（中间项）.

在等比数列中，

当项数为2n时，S偶/S奇=q

当项数为2n−1时，(S奇-a1)/S偶=q.

一般数列的处理方法（递推数列）

（1）型如

的递推数列通常用叠加法求通项．

（2）型如

的递推数列通常用叠乘法求通项．

（3）型如

(A、B是非0常数，A≠1)的递推数列，通常用待定系数法或求特征根的方法构造等比数列求通项．

（4）型如

的递推数列通常用待定系数法构造等比数列求通项．

（5）型如

的递推数列，当B=A时两边同除以

构造等差数列.当B≠A时通常用待定系数法构造等比数列求通项．

（6）型如

(Sn是数列前n项和)的递推数列通常利用公式

消和Sn或消项an, 从而化成型如前面的递推数列．

（7）型如

的递推数列都可以用倒数法求通项．

（8）其它类型的递推数列可根据不同的题采取不同的方法处理,比如归纳,猜想,再用数学归纳法证明等等.

（9）函数与数列的关系:

当函数y＝f(x)是单调函数时，数列an＝f(n)必是单调数列，反之不正确；

当函数y＝f(x)是单调函数时，数列an+1＝f(an)的单调性不确定．

斐波那契数列（兔子数列）：

（1）斐波那契数列从第3项起，每一项都是前面两项之和

其通项可通过特征根方程求得

（2）斐波那契数列的偶数项之和：

（3）斐波那契数列的奇数项之和：

即

（3）斐波那契数列的前n项之和：

数列的周期性：

类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列{an}，如果存在一个常数

使得对任意的正整数

恒有

成立，则称数列{an}是从第

项起的周期为T的周期数列。若

，则称数列{an}为纯周期数列，若

，则称数列{an}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期.

常见周期如下所列：

（1）

（2）

（3）

特别地，

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

类比

常用的放缩和裂项相消方法：

不等式的证明常常和数列交汇命题，其常用的放缩、裂项相消方法是：

（均值放缩）

三角函数与数列相结合的裂项相消：

已知数列

是公差为

的等差数列，则

对任一自然数

及任意实数

有:

三角函数数列求和裂项相消：

完美结束。

如果大家看完这篇文章，能有很大的收获，我就开心啦。希望大家喜欢，更多文章敬请期待。

END

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