「不等式」和「最值」之间有着非常天然的强联系；基本不等式有3个非常明显的形式特征；知识点的用法比知识点本身更重要。

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今天我们来看2017年天津卷的数学高考题目，这道题同时出现在了天津卷的文科考卷跟理科考卷上，这也再一次的验证了我一直告诉你的一句话：高中数学的大部分知识点，文科的考法跟理科的考点和考法是一样的，你没有必要给它们贴上特定的标签。

就比如这道天津省的高考题：

读完题目后我们会发现，这道题的解题方法很明显需要用到基本不等式。如果你读完题后根本想不到这个知识点，那就说明你的知识学习存在很大漏洞，我们来回顾一下基本不等式的基本特点。

01、「基本不等式」的三个要点

我们每个人都懂基本不等式的公式，可是在考试中有一部分学生他们只是知道基本不等式的内容，并不知道什么时候用这个基本不等式，我以前常说，一个知识点固然重要，但比知识点更重要的是知识点的考法。

所以我今天想谈一谈：你在什么时候想到用基本不等式。

首先，基本不等式的形式是a²+c²≥2ac，它是一个不等式，是一个可以用来求最值的公式，换句话来说，比如现在我们知道a²+c²的值，那么我们可以通过基本不等式求出a×c的 *最大值*，反之可以求出一个和的 *最小值* 。

——这其实是不等式的一条天然属性：它可以用来求最值。所以下一次如果你读题遇到求最值的问题，比较可行的一个思路是你要看看它能不能用基本不等式。

我在《高中数学15讲》里谈「不等式」这一章节时特别讲了如何将不等式和「求最值」的问题进行关联思考的原则，如果你感兴趣、可以在公众号「效率研究所」左下角的「线上课程」。

当然、求最值的方法有很多，基本不等式求最值只是其中的一种方法，这一点只能说是基本不等式的特征，算不得什么显眼的特性，基本不等式真正独特的地方在于：

我们高中数学学过成百上千的公式，可是只有一个公式能够将「加法」和「乘法」这两种运算关联起来、并且相互转换，这就是基本不等式——这一点、我们也可以从基本不等式的公式形式看出来。

所以，当题目中出现了加法和乘法的转换，我们很自然的就要想到基本不等式。

最后我还想说的是：当你用基本不等式将一个加法运算升格成为乘法运算，你损失了加法这两项的次数——这就是基本不等式的三个特点。

当题目中出现了跟这三个特点有关系的内容时，我们一定要想到用基本不等式。

02、「基本不等式」的实战应用

我们回归这道题本身，你可能已经把题给忘了，我再贴一次题干：

请注意：题目要求最值——这是一条非常隐晦的提示，你要想到基本不等式可以用来求最值。

而且根据题目所求式子的形式，我们再思考一下基本不等式的特点，我们很容易就可以想到用基本不等式来做。

我们遇到的主要困难是：题目中的式子的形式与基本不等式平方的形式不符——基本不等式讲的是二次方的问题，但是这道题说的是四次方。

但是仔细观察一下，其实发现a⁴可以转化为（a²)²，4b⁴可以转化为(2b²)²——在这里我们可以把a²和2b²看成一个整体，再用基本不等式放缩，得到a⁴+4b⁴≥4a²b²：

看上图黄色的部分，现在我们已经得到了与ab相关的式子，但是分子是a²b²的形式，分母是ab的形式，我们需要再用一次基本不等式降低分子的次数——这提示我们其实可以再用一次基本不等式。

最后得出式子4a²b²+1≥4ab，通过计算得出的最终答案是：最小值为4。

03、加 餐：重温一道旧题目

在我们之前的 专 栏 中、我们用函数的方法讲解了2017年北京卷文科数学的第11题，当时我们用了把它转化成了一个在固定区间上求解二次函数取值范围的这种方法，这次我们再用不等式的方法从另一角度讲解这道题：

我们先来看这道题，这道题按照正常思路，我们首先应该将x+y=1平方，变为含有x²+y²的式子，也就是（x+y)²=x²+y²+2xy=1，换句话来说，这道题被转化成了求1-2xy的最值，而1是定值，所以式子的最值就由xy决定，这道题的重点就变成了求xy的最大值。

我们从x²+y²到xy，既要将加法运算变为乘法运算，又要进行降次，这很明显提示我们需要用到基本不等式：x²+y²≥2xy。

我们看下图的黄色与蓝色部分：

将x²+y²≥2xy和1-2xy两式联合，得到1≥4xy，xy的最大值为1/4，进一步的计算可得x²+y²的最小值。

且题目中告诉我们x≥0,y≥0，所以我们可以认为xy的最小值为最小非负整数0，所以x²+y²的最大值为1，这道求取值范围的题目就结束了。

04、复 盘：从这道题目中学会了什么？

我们再来梳理一下「如何运用基本不等式」这个问题。

这两道题目都可以用基本不等式来做，而基本不等式这个知识点本身不重要，我们每个人都知道基本不等式，重要的是我们如何根据基本不等式的三条特点来判断在何种情况下使用基本不等式？这三点非常重要：1.基本不等式可以求最值。
2.基本不等式高中数学唯一一个可以将乘法运算和加法运算联系起来的公式
3.再用基本不等式将加法升格为乘法时，损失了次数。
总的来说，单单学会一个知识点是不足以保证你能得高分的；只有知道这个知识点在什么情况下能用，这才能够运用到解题的过程中。

类似的问题在2018年的高考真题中也同样出现，用到了相同的解答策略，你可以在《万剑归宗十套卷第二期：2018年高考真题精讲》中收听这道相关题目的讲解，欢迎你和大家一起学习。

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