前言

二分查找也常被称为二分法或者折半查找，每次查找时通过将待查找区间分成两部分并只取一部分继续查找，将查找的复杂度大大减少。对于一个长度为 O(n) 的数组，二分查找的时间复杂度为 O(log n)。

69. x 的平方根

题解
我们可以把这道题想象成，给定一个非负整数 $a$，求$f(x)=x2,a=0$ 的解。因为我们只考虑 $x\ge 0$，所以 $f(x)$ 在定义域上是单调递增的。考虑到 $f(0)=a\le 0，f(a)=a2a\ge 0$，我们可以对 $[0,a]$ 区间使用二分法找到 $f(x)=0$ 的解。

代码

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x == 1)return 1;int min = 0;int max = x;while(max-min>1){int m = (max+min)/2;if(x/m<m)max = m;elsemin = m;}return min;}
};

35. 搜索插入位置

题解
例如到底是 $while(left<right)$ 还是 $while(left<=right)$，到底是$right=middle$呢，还是要$right=middle-1$呢？

这里弄不清楚主要是因为**「对区间的定义没有想清楚，这就是不变量」**。

要在二分查找的过程中，保持不变量，这也就是**「循环不变量」**。

代码

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();int left = 0;int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right] while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2if (nums[middle] > target) {right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]} else { // nums[middle] == targetreturn middle;}}// 分别处理如下四种情况// 目标值在数组所有元素之前  [0, -1]// 目标值等于数组中某一个元素  return middle;// 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return  right + 1// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]， return right + 1return right + 1;}
};