二分图----最大匹配，最小点覆盖，最大点独立集

一.二分图

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。当且仅当无向图G的每一个回路的次数均是偶数时，G才是一个二分图。如果无回路，相当于任一回路的次数为0，故也视为二分图。—— 故二分图判定用染色法。

二.二分图匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

三.匈牙利算法——用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)

先介绍一个概念：增广路径
如果从x部的一个未匹配的点出发，经过未匹配的边，再经过匹配过的边，再经过未匹配的边，以此类推，知道抵达y部的一个未匹配的点。其有三条性质：
1.增广路径长度为奇数，且未匹配的边比已匹配的边多一条
2.将增广路取反，得到一条（匹配数+1）的路径
3.有且仅有当不再存在增广路径时，匹配数达到最大。

代码:

bool dfs(int u)
{vis[u]=true;for(node *p=adj[u];p;p=p->next){int v=p->v;if(!vis[v]){vis[v]=true;if(cy[v]==-1||dfs(cy[v])){cx[u]=v,cy[v]=u;return true;}}}return false;
}
void maxmatch()
{memset(cx,-1,sizeof cx);memset(cy,-1,sizeof cy);match=0;for(int i=1;i<=cnt1;i++)if(cx[i]==-1){memset(vis,0,sizeof vis);if(dfs(i)) match++;}
}

四.最小点覆盖

最小点覆盖=最大匹配
会证明了来更新。。。

五.最大点独立集

对于任意图中，有最大点独立集与最小点覆盖集互成补集。