CRC 算法的数学基础就不再多啰嗦了，到处都是，简单提一下。它是以 GF(2) 多项式算术为数学基础的，GF(2) 多项式中只有一个变量 x ，其系数也只有 0 和 1 ，比如：

    1 *x^6 + 0*x^5 + 1*x^4 + 0*x^3 + 0*x^2 +1*x^1 + 1*x^0

       = x^6 + x^4 + x + 1

加减运算不考虑进位和退位。说白了就是下面的运算规则：

    0 + 0 = 0    0 - 0 = 0

    0 + 1 = 1    0 - 1 = 1

    1 + 0 = 1    1 - 0 = 1

1 + 1 = 0    1 - 1 = 0
看看这个规则，其实就是一个异或运算。

每个生成多项式的系数只能是 0 或 1 ，因此我们可以把它转化为二进制形式表示， 比如 g(x)=x^4 + x + 1 ，那么g(x) 对应的二进制形式就是 10011 ， 于是我们就把 GF(2) 多项式的除法转换成了二进制形式，和普通除法没有区别，只是加减运算没有进位和退位。

比如基于上述规则计算 11010/1001 ，那么商是 11 ，余数就是 101 ，简单吧。

采用 CRC 校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式 g(x) ， g(x) 是一个 GF(2) 多项式，并且 g(x) 的首位和最后一位的系数必须为 1 。

CRC 的处理方法是：发送方用发送数据的二进制多项式 t(x) 除以 g(x) ，得到余数 y(x) 作为 CRC 校验码。校验时，以计算的校正结果是否为 0 为据，判断数据帧是否出错。设生成多项式是 r 阶的（最高位是 x^r ）具体步骤如下面的描述。

发送方：

1 ）在发送的 m 位数据的二进制多项式 t(x) 后添加 r 个 0 ，扩张到 m+ r 位，以容纳 r 位的校验码，追加 0 后的二进制多项式为  T(x) ；

2 ）用 T(x) 除以生成多项式 g(x) ，得到 r 位的余数 y(x) ，它就是 CRC 校验码；

3 ）把 y(x) 追加到 t(x) 后面，此时的数据 s(x) 就是包含了 CRC 校验码的待发送字符串；由于 s(x) = t(x) y(x) ，因此 s(x) 肯定能被 g(x) 除尽。

接收方：

1 ）接收数据 n(x) ，这个 n(x) 就是包含了 CRC 校验码的 m+r 位数据；

2 ）计算 n(x) 除以 g(x) ，如果余数为 0 则表示传输过程没有错误，否则表示有错误。从 n(x) 去掉尾部的 r 位数据，得到的就是原始数据。

生成多项式可不是随意选择的，数学上的东西就免了，以下是一些标准的 CRC 算法的生成多项式：

根据多项式除法，我们就可以得到原始的 CRC 校验算法。假设生成多项式 g(x) 是 r 阶的，原始数据存放在 data中，长度为 len 个 bit ， reg 是 r+1 位的变量。 以 CRC-4 为例，生成多项式 g(x)=x^4 + x + 1 ，对应了一个 5bits 的二进制数字 10011 ，那么 reg 就是 5 bits 。

reg[1] 表明 reg 的最低位， reg[r+1] 是 reg 的最高位。

通过反复的移位和进行除法，那么最终该寄存器中的值去掉最高一位就是我们所要求的余数。所以可以将上述步骤用下面的流程描述：

由于最后只需要 r 位的余数，所以我们可以尝试构造一个 r 位的 reg ，初值为 0 ，数据 data 依次移入 reg[1] ，同时把reg[r] 移出  reg 。

根据上面的算法可以知道，只有当移出的数据为 1 时， reg 才和 g(x) 进行 XOR 运算；于是可以使用下面的算法：

这种算法简单，容易实现，对任意长度生成多项式的 G （ x ）都适用，对应的 CRC-32 的实现就是：

但是如果发送的数据块很长的话，这种方法就不太适合了。它一次只能处理一个 bit 的数据，效率太低。考虑能不能每次处理一个 byte 的数据呢？事实上这也是当前的 CRC-32 实现采用的方法。

这一步骤是通往基于校验表方法的桥梁，让我们一步一步来分析上面逐 bit 的运算方式，我们把 reg 和 g(x) 都采用 bit 的方式表示如下：    

考虑把上面逐 bit 的算法执行 8 次，如果某次移出的不是 1 ，那么 reg 不会和 g(x) 执行 XOR 运算，事实上这相当于将 reg 和 0 执行了 XOR 运算。执行过程如下所示，根据 hi-bit 的值，这里的 G 可能是 g(x) 也可能是 0 。

从上面的执行过程清楚的看到，执行 8 次后， old-reg 的高 8bit 被完全移出， new-reg 就是 old-reg 的低24bit 和数据 data 新移入的 8bit 和 G 一次次执行 XOR 运算所得到的。

       XOR 运算满足结合律，那就是： A XOR B XOR C = A XOR (B XOR C) ，于是我们可以考虑把上面的运算分成两步进行：

1 ）先执行 R 高 8bit 与 G 之间的 XOR 运算，将计算结果存入 X 中，如下面的过程所示。

2 ）将 R 左移 8bit ，并移入 8bit 的数据，得到的值就是  ，然后再与 X 做 XOR运算。

根据 XOR 运算的结合率，最后的结果就等于上面逐 bit 的算法执行 8 次后的结果，根据这个分解，我们可以修改逐bit 的方式，写出下面的算法。