文章目录

- 致谢
9 线性回归再相遇
- 9.1 再遇
- - 9.1.1 概述
  - 9.1.2 矩阵和向量
  - 9.1.3 矩阵加减乘除
  - - 9.1.3.1 矩阵——矩阵加减
    - 9.1.3.2 矩阵——标量加减乘
    - 9.1.3.3 矩阵——向量相乘
    - 9.1.3.4 矩阵——矩阵相乘
    - 9.1.3.5 矩阵的逆
    - 9.1.3.6 矩阵的转置
  - 9.1.4 向量化
  - 9.1.5 广义线性模型
- 9.2 正规方程
- 9.3 线性回归的实现
- 9.4 模型评估
- 9.5 正规方程和梯度下降
- 9.6 关于优化方法
- 9.7 后话

致谢

为什么计算函数极值用梯度下降算法而不直接令导数为0求解？ - 知乎 (zhihu.com)

解释为什么用梯度下降而不是直接求导数为0的解？_weixin_43167121的博客-CSDN博客_梯度下降为什么不直接导数=0

python的numpy向量化语句为什么会比for快？ - 知乎 (zhihu.com)

机器学习:波士顿房价数据集 - wjunneng - 博客园 (cnblogs.com)

随机梯度下降(SGD)与经典的梯度下降法的区别_米兰小子SHC-CSDN博客_随机梯度下降和梯度下降的区别

1.1-广义线性模型 - sklearn中文文档 (sklearncn.cn)

线性回归（模型的评估) - 知乎 (zhihu.com)

9 线性回归再相遇

在第二讲中，实际上我们已经谈论了线性回归的基本知识。但是你是否在当时发现了我的一些漏洞呢？如果你没有发现，你要好好反思自己了。

在当时我们谈到了对于损失函数如何求最小值的问题，那时候我对于求导避而不谈，转而使用了梯度下降来作为求最小值的方法，这是为何呢？

首先我们来试想，我们用求导来求极小值是怎么求的？我们是通过令导函数为0来求导的，可是实际问题中，如果损失函数非凸，那势必会出现 $y = x^3$ 中 $x_0$ 位置的拐点。因此我们可以得出：并不是所有的函数都可以根据导数求导取得0值的点的，我们需要一种更通用的方式来解决损失函数极小值的问题。

在最优化中，牛顿迭代和梯度下降都可以计算极值。区别在于，梯度下降法的算法复杂度低一些, 但是迭代次数多一些; 牛顿迭代法计算的更快(初值必须设置的很合理), 但是牛顿迭代法因为有"除法"参与(对矩阵来说就是求逆矩阵), 所以每一步迭代计算量很大. 一般会根据具体的情况取舍。

梯度下降相比于牛顿迭代法还有一个好处就是，它的完成方式允许一个简单的并行化，即在多个处理器或机器上分配计算，所以当你使用神经网络来训练模型时，梯度下降变得尤为重要。

好了，坑填上了，下面进入我们这一讲学习的部分。

9.1 再遇

9.1.1 概述

线性回归并不是我们初中学习的那个一次函数了，实际上在机器学习中的线性回归更加地广义。我们初中熟知的一次函数在机器学习中被称为单变量回归。而自变量大于一个的我们叫做多元回归。在第二讲中我们谈到房价预测的模型 $h_θ(x) = θ_0+θ_1x_1+θ_2x_2$ 即为多元回归。

我们给出通用公式： $h(w) = w_1x_1+w_2x_2+...w_nx_n+b = w^T+b$

其中w，x可以理解为矩阵，这实际上是向量化的一种应用方式，在后面，我会提到向量化，不必担心。但是在这之前，我们必须重温线性代数。

9.1.2 矩阵和向量

矩阵一般用方括号括起，里面写有若干个数字。我们一般表示矩阵的维度通常是采用行数×列数来表示的。如下图所示：

有时我们也会遇见下图所示的符号：

这个看似像R的符号实际上代表任意2×3规模的矩阵集合。

如上面的矩阵所示，我们会用 $A_{ij}$ 来表示A矩阵中第i行第j列的某一个元素。

对于向量也是相应的表示方法，它实际上是一个n×1的矩阵，也就是说，实际上标量是0维，向量是2维，矩阵是三维。

9.1.3 矩阵加减乘除

9.1.3.1 矩阵——矩阵加减

矩阵的加法和减法实际上就是，两个矩阵对应元素相加相减即可。但是在这里需要注意，如果两个矩阵不是同型（即不同维度的）的，那么两个矩阵是不能相加相减的。

在python中两个矩阵即使不同型也能相加，即python的广播机制，在后面的论述中，我们再细谈。

9.1.3.2 矩阵——标量加减乘

对于一个标量和一个矩阵相加相减，如果该标量是n，那么实际上我们可以把该标量看成是一个n的单位矩阵（n的单位矩阵是主对角线全n，可不是矩阵所有元素都是n哈），且与另外需要相加相减的矩阵同型。也就是说，标量加矩阵，即矩阵对应元素全部加上或减去该标量。

同样地，标量和矩阵相乘，即矩阵所有元素全部乘上该标量。

9.1.3.3 矩阵——向量相乘

矩阵和一个向量相乘，假如一个矩阵为m×n，则要求向量一定要为n×1，否则不能相乘。

相乘的时候，矩阵的行元素与向量的列元素对应相乘再相加。

9.1.3.4 矩阵——矩阵相乘

矩阵矩阵相乘和矩阵向量相乘同理，假如一个矩阵为m×n，则要求另外一个矩阵必须是n×k，否则不能相乘。其相乘的结果矩阵为m×k。

相乘的时候，A矩阵的行元素和B矩阵的列元素对应相乘再相加。

实际上，AB矩阵相乘和BA矩阵相乘是不一样的，也就是说，其不享有标量运算中的乘法交换律。所以在进行计算的时候，这个问题是十分需要注意的。不过有一个特例，假如矩阵和单位矩阵进行相乘，两者是满足乘法交换律的。

9.1.3.5 矩阵的逆

有些人很奇怪，上面怎么都是相加相减相乘，可就是没有相除呢？这是因为在线性代数中矩阵的除法不太一样。

在线性代数中，矩阵的除法叫做逆。比如标量1/3和3/1相乘，其必定为1。我们称3/1为1/3的逆。在矩阵中，假如有A矩阵和A的逆矩阵 $A^{-1}$ ，则满足 $A(A^{-1}) = I(I为单位矩阵)$ 。且需要提到的是，只有形如m×m的方阵才有逆矩阵。

逆矩阵一般怎么求呢？外国学生一般用软件算，而中国学生就比较“惨”了，一般靠手算。

如果靠手算，我们一般使用初等行变换法或者利用伴随矩阵来求，这里我们就不过多叙述了，因为脱离了主要内容了。

9.1.3.6 矩阵的转置

转置就不多说了，直接行列互换即可。假如一个A为m×n，则 $A^T$ 为n×m。

9.1.4 向量化

在线性回归中，我们会把若干个特征放入x向量中，而把若干个w放入w向量中，最后运用上述的线性代数知识将其加上b。这么做的话，相比于用for循环一个特征一个特征的去扫描，然后一个样本一个样本训练模型来说，使用numpy来启用线性代数机制去计算明显速度要提高几番不止。至于为什么用线性代数机制快，你可以去网上查查，这里涉及底层知识，这里不过多讲解。

9.1.5 广义线性模型

线性模型中实际上有狭义线性模型和广义线性模型。狭义的线性模型就是我们所知的y = kx+b，而广义线性模型即为 $y = w_1x_1+w_2x_2+b$ ，画在图上实际上这个函数是一个平面。甚至于你可以无限扩展其维度，变成 $y = w_1x_1+w_2x_2+...w_nx_n+b$ 。

然而，线性模型也并非一定要线性，也可以是非线性的。形如 $y = w_1x_1+w_2x_2^2+b$ 也被称为线性模型。线性模型实际上追求的不是线性，而是追求模型中某个东西一次（方）：即自变量一次或参数一次。

参数和自变量多，实际上可以提高模型精度；但是不控制好，则会导致过拟合，这一点在第五讲我们已经做过论述了，这里不再提了。

9.2 正规方程

我们在第二讲曾经提到过正规方程。现在是时候填上我们的坑了。

正规方程和梯度下降都是求得损失函数最小值对应参数的方法。但是不同的是，正规方程并不需要进行迭代，它可以一步求解。而对于梯度下降，其必须勤勤恳恳进行迭代无限逼近最小值。

但是正规方程也有不好的地方，当特征过多过复杂的时候，正规方程求解速度会很慢，且常常求不出结果。所以其实际上具有局限性。

正规方程的基本形式为：
$w = (X^TX)^{-1}X^Ty$
由于正规方程的不通用性，所以这里我们不做过多讲解，初学者只需牢牢掌握梯度下降即可。

9.3 线性回归的实现

结合第二讲和这一讲的叙述，相信我们对线性回归都有一定地了解了，现在让我们看看，我们如何使用sklearn为我们提供的API。

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept = True)

通过正规方程优化
fit_intercept：是否计算偏置
LinearRegression.coef_：回归系数
LinearRegression.intercept_：偏置

sklearn.linear_model.SGDRegression(loss = “squared_loss”,fit_intercept = True,learning_rate = ‘invscaling’,eta0 = 0.01)

loss：损失类型
loss = “squared_loss”:普通最小二乘法
fit_intercept：是否计算偏置
learning_rate：string,optinal
用于学习率填充
‘constant’：eta = eta0
‘optimal’：eta = 1.0/(alpha*(t+t0))[default]
‘invscaling’：eta = eta0/pow(t,power_t)
power_t = 0.25：存在于父类中

对于一个常数值的学习率来说，可以使用’constant’，并使用eta0来指定学习率
SGDRegressor.coef_：回归系数
SGDRegressor.intercept_：偏置

我们利用上面的API，对sklearn内置的波士顿房价数据集做预测。

波士顿房价数据集

使用sklearn.datasets.load_boston即可加载相关数据。该数据集是一个回归问题。每个类的观察值数量是均等的，共有 506 个观察，13 个输入变量和1个输出变量。

每条数据包含房屋以及房屋周围的详细信息。其中包含城镇犯罪率，一氧化氮浓度，住宅平均房间数，到中心区域的加权距离以及自住房平均房价等等。

在上面的数据中，我们可以总结出以下处理步骤：

获取数据集
划分数据集
特征工程：标准化（各项指标有小数有整数，需要标准化一下）
预估器流程
模型评估

代码如下所示：

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.linear_model import SGDRegressordef linear_model_1():"""利用正规方程来优化损失函数"""# 1 获取数据boston_data = load_boston()# 2 划分数据x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston_data.data, boston_data.target, random_state=22)# 3 标准化transfer = StandardScaler()x_train = transfer.fit_transform(x_train)x_test = transfer.transform(x_test)# 4 预估器estimator = LinearRegression()estimator.fit(x_train, y_train)# 5 得出模型print("------经果正规方程的优化后------")print("权重系数为：\n", estimator.coef_)print("偏置为：\n", estimator.intercept_)def linear_model_2():"""利用梯度下降来优化损失函数"""# 1 获取数据boston_data = load_boston()# 2 划分数据x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston_data.data, boston_data.target, random_state=22)# 3 标准化transfer = StandardScaler()x_train = transfer.fit_transform(x_train)x_test = transfer.transform(x_test)# 4 预估器estimator = SGDRegressor()estimator.fit(x_train, y_train)# 5 得出模型print("------经果梯度下降的优化后------")print("权重系数为：\n", estimator.coef_)print("偏置为：\n", estimator.intercept_)linear_model_1()
linear_model_2()

9.4 模型评估

在回归任务中，其不像分类任务一样直接对比分类效果获得准确率即可。对于模型的好坏采用的是评估指标，评估指标一般都是用我们在第二讲讲到的那几个误差函数。在线性回归中，常用的误差函数即为平方误差函数，即均方误差（Mean Square Error,MSE）。其他的误差函数，在神经网络中会一一涉及。

均方误差如下所示：
$MSE=1m∑i=1m(y^−yi)2MSE = \frac{1}{m}\sum^m_{i = 1}(\hat y - y^i)^2$
MSE的作用就是当你训练出了模型后，我用测试集中的数据来对比你预测出来的结果，看看差距到底有多大，这个多大是用均方误差来估计的。

在sklearn中也有相应的API，如下所示：

sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)

均方误差回归损失
y_true：真实值
y_pred：预测值
return：误差，浮点数结果

应用在上面的线性回归中：

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_errordef linear_model_1():"""利用正规方程来优化损失函数"""# 1 获取数据boston_data = load_boston()# 2 划分数据x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston_data.data, boston_data.target, random_state=22)# 3 标准化transfer = StandardScaler()x_train = transfer.fit_transform(x_train)x_test = transfer.transform(x_test)# 4 预估器estimator = LinearRegression()estimator.fit(x_train, y_train)y_predict = estimator.predict(x_test)# 5 得出模型print("------经果正规方程的优化后------")print("权重系数为：\n", estimator.coef_)print("偏置为：\n", estimator.intercept_)# 6 评估模型error = mean_squared_error(y_test, y_predict)print("均方误差为：\n", error)def linear_model_2():"""利用梯度下降来优化损失函数"""# 1 获取数据boston_data = load_boston()# 2 划分数据x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston_data.data, boston_data.target, random_state=22)# 3 标准化transfer = StandardScaler()x_train = transfer.fit_transform(x_train)x_test = transfer.transform(x_test)# 4 预估器estimator = SGDRegressor()estimator.fit(x_train, y_train)y_predict = estimator.predict(x_test)# 5 得出模型print("------经果梯度下降的优化后------")print("权重系数为：\n", estimator.coef_)print("偏置为：\n", estimator.intercept_)# 6 评估模型error = mean_squared_error(y_test, y_predict)print("均方误差为：\n", error)linear_model_1()
linear_model_2()

9.5 正规方程和梯度下降

正规方程和梯度下降在上面的案例中已经有了很明显的对比：

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算就能得出
特征数量较大可以使用	需要解方程，时间复杂度很高

在选择优化方法时，我觉得真的没必要花里胡哨，梯度下降就对了。如果那你真的很想搞事，那么sklearn给了一个参考图，你可以根据这个来判定你要使用哪种优化方法。

9.6 关于优化方法

实际上，我们在上面提到的sklearn.linear_model.SGDRegression并不是传统的梯度下降(GD)，而是经过多次改进的随机梯度下降(SGD)。

传统的梯度下降需要在迭代过程中使用所有的训练数据。记得梯度下降怎么做的吗？

线性代数的损失函数假设为： $J(θ1)=12m(y^−y)2J(θ_1) = \frac {1}{2m}(\hat y - y)^2$ ，则模型参数更新为： $θj=θj−α∂∂θjJ(θ0,θ1)θ_j = θ_j - \alpha \frac{\partial}{\partial θ_j} J(θ_0,θ_1)$