问题背景

高等数学应用非常广，基本上涉及到函数的地方都要用到微积分，还有在几何方面也是如此，计算机的应用让我们能简单快速处理各种高等数学中的计算，比如极限、导数、积分、微分方程等的计算。

实验目的

使用 Python 通过计算与作图，加强对极限、导数、积分等概念的理解，并掌握它们计算方法，以及求微分方程和方程组解析解的方法。

实验原理与数学模型

1. 函数极限的求解讨论以及两个重要极限的验证。
2. 导数概念和导数的几何意义，以及计算多元函数偏导数和全微分的方法。
3. 一元函数积分学和多元函数积分学。
4. 微分方程和方程组在有无初始条件的分析。

实验所用软件

• Python 3.7
• NumPy 1.16.4
• SymPy 1.4
• Matplotlib 3.1.1

主要内容

1. 函数极限的求解和两个重要极限的探究；
2. 导数、高阶导数以及隐函数、参数方程定义函数导数的求解，多元函数偏导数和全微分的求解；
3. 计算定积分和不定积分以及重积分的方法；
4. 求解微分方程以及方程组解析解的方法。

实验过程

1. 函数极限的求解和两个重要极限

在这个实验中我们通过对简单的函数进行单侧极限的求解，并且分析两个重要极限。

例 1：考虑函数

解：编写Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

import sympy as sp

# 求函数 y=arctan(1/x) 的左右极限

x = sp.Symbol('x')

fr = sp.atan(1 / x)

xl = sp.limit(fr, x, 0, dir='-')

xr = sp.limit(fr, x, 0, dir='+')

print('%s 左极限是：%s' % (fr, xl))

print('%s 右极限是：%s' % (fr, xr))

# 绘制函数 y=arctan(1/x) 的图像

x = np.arange(-6, 6, 0.01)

y = np.arctan(1 / x)

plt.title('y=arctan(1/x)')

plt.plot(x, y)

plt.show()

运行代码输出结果和绘制图像：

atan(1/x) 左极限是：-pi/2

atan(1/x) 右极限是：pi/2

根据计算结果和绘制的图像分析求得出题中函数的左右极限分别为 -pi/2 和 pi/2 。

例 2：两个重要极限的验证。

解：编写Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

import sympy as sp

# 分析两个重要极限

x = sp.Symbol('x')

f1 = sp.sin(x) / x

f2 = (1 + 1 / x) ** x

x1 = sp.limit(f1, x, 0)

x2 = sp.limit(f2, x, 'oo')

print('%s 第一重要极限的值：%s' % (f1, x1))

print('%s 第二重要极限的值：%s' % (f2, x2))

# 绘制函数图像分析两个重要极限

x1 = np.arange(-3, 3, 0.01)

x2 = np.arange(0.01, 100, 0.1)

y1 = np.sin(x1) / x1

y2 = (1 + 1 / x2) ** x2

plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(121)

plt.title('y=sin(x)/x')

plt.plot(x1, y1)

plt.subplot(122)

plt.title('y=(1+1/x)**x')

plt.plot(x2, y2)

plt.show()

运行代码输出结果和绘制图像：

sin(x)/x 第一重要极限的值：1

(1 + 1/x)**x 第二重要极限的值：E

根据上图变化趋势理解函数极限和程序得出的答案，验证两个重要极限。

2. 导数与微分的研究

在这个实验中，我们探究导数概念及其几何意义，高阶导数，隐函数导数，参数方程定义的函数导数，以及求解多元函数偏导数和全微分。

例 1：求 f(x)=2x^3+3x^2-12x+7 的导函数，并作出该函数图形和在 x=-1 处的切线。

解：编写Python代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

import sympy as sp

# 导数与微分

x = sp.Symbol('x')

f = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7

d = sp.diff(f)

print('%s 的导函数为：%s' % (f, d))

y_d = d.evalf(subs={x: -1})

y_h = f.evalf(subs={x: -1})

print('将x=-1代入导函数求解为：%d' % y_d)

print('将x=-1代入原函数求解为：%d' % y_h)

f_d = y_d * (x + 1) + y_h

print('得出切线方程为：%s' % f_d)

# 绘制函数图和切线图

x = np.arange(-4, 3, 0.01)

y1 = 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 12 * x + 7

y2 = 8 - 12 * x

plt.title('函数y=2*x**3+3*x**2-12*x+7以及当x=-1时的切线')

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.plot(x, y1, x, y2)

plt.show()

运行代码输出结果和绘制图像：

2*x**3 + 3*x**2 - 12*x + 7 的导函数为：6*x**2 + 6*x - 12

将x=-1代入导函数求解为：-12

将x=-1代入原函数求解为：20

得出切线方程为：8.0 - 12.0*x

最后执行便在同一个坐标系内作出了函数 f(x) 的图形和它在 x=-1 处的切线(直线为切线)。

注：此两行代码是为了解决在绘图中显示中文乱码的问题。

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

例 2：求函数 y=x^{10}+2(x-10)^9 的1阶到11阶导数。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

y = x ** 10 + 2 * (x - 10) ** 9

for n in range(1, 12):

y = d = sp.diff(y)

print('第%2d阶导数为：%s' % (n, d))

输出即为题中要求所得函数高阶导数。

例 3：求由方程 2x^2-2xy+y^2+x+2y+1=0 确定的隐函数的导数。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')

z = 2 * x ** 2 - 2 * x * y + y ** 2 + x + 2 * y + 1

d = -sp.diff(z, x) / sp.diff(z, y)

print('原方程导数为：%s' % d)

运行代码输出结果：

原方程导数为：(-4*x + 2*y - 1)/(-2*x + 2*y + 2)

该实验根据隐函数求导公式 dy/dx=-Fx/Fy 求得，然后再根据一般求导公式即可求出结果。

例 4：求由参数方程 x=e^tcos(t), y=e^tsin(t) 确定的函数的导数。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

t = sp.Symbol('t')

x = sp.exp(t) * sp.cos(t)

y = sp.exp(t) * sp.sin(t)

d = sp.diff(y, t) / sp.diff(x, t)

print('原参数方程导数结果为：%s' % d)

d = sp.simplify(d)

print('原参数方程导数化简为：%s' % d)

运行代码输出结果：

原参数方程导数结果为：(exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))/(-exp(t)*sin(t) + exp(t)*cos(t))

原参数方程导数化简为：tan(t + pi/4)

根据参数方程求导法则最后求得由参数方程确定函数的导数。

例 5：设 z=sin(xy)+cos^2(xy) ，求偏导数(省略数学公式，点击阅读原文查看)。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')

z = sp.sin(x * y) + (sp.cos(x * y)) ** 2

d1 = sp.diff(z, x)

d2 = sp.diff(z, y)

d3 = sp.diff(z, x, 2)

d4 = sp.diff(sp.diff(z, x), y)

print('第一偏导数为：%s' % d1)

print('第二偏导数为：%s' % d2)

print('第三偏导数为：%s' % d3)

print('第四偏导数为：%s' % d4)

运行代码输出结果：

第一偏导数为：-2*y*sin(x*y)*cos(x*y) + y*cos(x*y)

第二偏导数为：-2*x*sin(x*y)*cos(x*y) + x*cos(x*y)

第三偏导数为：y**2*(2*sin(x*y)**2 - sin(x*y) - 2*cos(x*y)**2)

第四偏导数为：2*x*y*sin(x*y)**2 - x*y*sin(x*y) - 2*x*y*cos(x*y)**2 - 2*sin(x*y)*cos(x*y) + cos(x*y)

以上为多元函数偏导数的结果。

3. 定积分与不定积分以及重积分的研究

在这个实验中，我们研究定积分与不定积分的计算，以及多重积分的计算，深入理解曲线积分、曲面积分的概念个计算方法。

例 1：计算 int{sqrt{4-x^2}dx} 和 int_1^2{sqrt{4-x^2}} 。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

y = sp.sqrt(4 - x ** 2)

i1 = sp.integrate(y, x)

i2 = sp.integrate(y, (x, 1, 2))

print('不定积分的结果为：%s' % i1)

print('定积分的结果为：%s' % i2)

运行代码输出结果：

不定积分的结果为：x*sqrt(4 - x**2)/2 + 2*asin(x/2)

定积分的结果为：-sqrt(3)/2 + 2*pi/3

使用 Python 求解不定积分时，会省略积分的常数。

例 2：计算三重积分 iiint{(x^2+y^2+z)dxdydz} ，其中由曲面 z=sqrt{2-x^2-y^2} 与 z=sqrt{x^2+y^2} 围成。

解：编写Python代码作出区域曲面图形，如下：

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

x = np.arange(-1, 1, 0.05)

y = np.arange(-1, 1, 0.05)

x, y = np.meshgrid(x, y)

z1 = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2)

z2 = np.sqrt(2 - x ** 2 - y ** 2)

ax = Axes3D(plt.figure())

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

ax.set_title('三重积分曲面')

ax.plot_surface(x, y, z1)

ax.plot_surface(x, y, z2)

plt.show()

将方程转换为柱坐标计算，然后确定积分限，编写Python代码：

import sympy as sp

r, s, z = sp.symbols('r s z')

f = (r ** 2 + z) * r

i = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(f, (z, r, sp.sqrt(2 - r ** 2))), (r, 0, 1)), (s, 0, 2 * sp.pi))

print('三重积分计算结果为：%s' % i)

运行代码输出结果：

三重积分计算结果为：2*pi*(-5/12 + 8*sqrt(2)/15)

4. 求微分方程的解析解

在这个实验中，我们用通过 Python 来求解微分方程的通解，在初始条件下的特解，以及微分方程组在初始条件下的特解。

例 1：求微分方程 y'+2xy=xe^{-x^2}

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

f = sp.Function('f')

y = f(x)

d = sp.Eq(y.diff(x) + 2 * x * y, x * sp.exp(-x ** 2))

diff = sp.dsolve(d, y)

print('微分方程的通解为：%s' % diff)

运行代码输出结果：

微分方程的通解为：Eq(f(x), (C1 + x**2/2)*exp(-x**2))

例 2：求微分方程 xy'+y-e^{-x}=0 在初始条件 y(x=1)=2e 下的特解。

解：编写Python代码如下：

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

f = sp.Function('f')

y = f(x)

d = sp.Eq(x * y.diff(x) + y - sp.exp(-x), 0)

diff = sp.dsolve(d, y, ics={f(1): 2 * sp.exp(1)})

print('微分方程的特解为：%s' % diff)

运行代码输出结果：

微分方程的特解为：Eq(f(x), ((1 + 2*exp(2))*exp(-1) - exp(-x))/x)ga