半数集问题

　　给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下：

　　(1)   n ∈set(n)；

　　(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；

　　(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。

　　以6为例子，6，6前面可以加1，2，3生成16，26，36，26前面可以加1生成126，同理36生成136.所以6的半数集元素个数为6分别是6，16，26，36，126，136

　　以12为例子，只加一个数字产生的元素有612，512，412，312，212，112。因为之后加的数字与‘12’没有关系，只与第一次加的数字有关，612，512，412，312，212，112产生的半数集元素的个数相当于6，5，4，3，2，1的半数集的个数，不难得到如下公式。

　　

递归代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cstdio>using namespace std;int f(int n){if(n==1)return 1;else{int ans=1;for(int i=1;i<=n/2;i++){ans=ans+f(i);}return ans;}
}int main()
{int n;scanf("%d",&n);int num=f(n);printf("%d\n",num);return 0;
}

　　递归时间复杂度很高对此我们可以进行优化，用数组空间存储之前的状态

O（n²）实现：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cstdio>using namespace std;int main()
{int n;scanf("%d",&n);int a[100];a[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){a[i]=1;for(int j=1;j<=i/2;j++){a[i]+=a[j];}}printf("%d\n",a[n]);return 0;
}

　　仔细分析后，发现时间复杂度其实可以降到O（n），因为当n为奇数时，第n项的半数集个数等于第n-1项的半数集个数，当n为偶数时，第n项的半数集个数等于第n-1项半数集个数 加 第n/2项半数集个数。

O（n）实现：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cstdio>using namespace std;int main()
{int n;scanf("%d",&n);int a[100];a[0]=a[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(i%2!=0)a[i]=a[i-1];else{a[i]=a[i-1]+a[i/2];}}printf("%d\n",a[n]);return 0;
}