一、测量 -- 确定性的死神
前文已反复提及在量子世界中测量这一过程会产生很多奇异的、反直觉的现象。在第一篇文章中我举的例子是：用同样的配方，同样的火候，同样的厨具（所有你能想到的变量均相同）煎鸡蛋，结果出锅的时候有的鸡蛋火候正好，有的糊了，还有的没熟。结果的巨大差异体现了不确定性，而这种不确定性是我们无法消除的，因为我们已经控制住了一切可能变化的参数。所以在量子世界中，面对测量，我们不能提前预知每一个独立个体测量后的结果。就如同那些鸡蛋，在出锅前，我们无法知道烹饪的火候是否恰当。这可能听起来有点抽象，那我再举一例。
我们在学习概率的概念时总会用到这个例子，那就是抛硬币。硬币落地时可能正面或反面朝上，我们将这一事件定义为随机事件。因为对每一次不同的抛硬币过程，正面或反面朝上的结果是我们无法预知的。当然，这在物理中并不严谨。对抛硬币这一过程，如果我们能够得知具体的受力过程，我们完全可以完美预测硬币落地的结果。因此这一过程实际上是个确定性事件，并非随机事件。它所谓的“随机性”主要体现在这一过程对初始条件非常敏感，可能我们稍稍改变一点动作（我们自己通常都意识不到），就将改变硬币落地的结果。这种现象在物理中通常被叫作混沌，就如同蝴蝶效应。但值得注意的是这一过程仍然是确定性的，用随机形容并不恰当。
接下来，我们来看看量子世界的抛硬币是怎样的。假设我们可以完美控制抛硬币的动作，使得每次硬币受力的过程完全相同，那么对于经典世界我们有理由相信硬币落地的结果是确定的，即总是正面朝上或总是反面朝上。但对于量子世界，硬币落地的结果却是有时正面朝上，有时反面朝上。这一结果是绝大多数物理学家所痛恨的，因为他们再以不能从几个简单的物理公式出发计算出未来将要发生的事件了。先前人们对于预知并掌控未来的自信，在量子世界测量结果的不确定上坍塌了。有时我也会设想如果我活在那个年代，我的三观会受到怎样的洗礼。恐怕这种挫败感正如同“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”所绘的历史虚无，不管我们在生前拥有多少财富，活得如何精彩，当死神来临，之前的一切美好均灰飞烟灭。无论我们怎么努力、怎么精细地总结出物质演化的规律，一旦进行测量，那些完美的预测荡然无存。
二、 狄拉克符号
物理学家掌控一切的梦虽然碎了，但生活还要继续，该研究还要研究。我们虽然无法预知每次抛硬币的结果，但我们至少知道硬币落地只有两种结果，正面或者反面朝上，总不可能屹立不倒吧......别笑，这其实挺重要的。也许你还记得上篇文章我说到矩阵是量子世界的数字，但矩阵的维数可以是任意整数。那么对于量子世界的某一物理过程，物理学家把力学量对应矩阵的维数与该物理过程测量后所有可能出现的结果数联系在了一起。具体来讲，矩阵的维数就等于所有可能的结果数。比方说对于描述抛硬币这一过程的矩阵，由于只有两种可能结果，其维数就是2。
另外，物理学家还用列向量表示硬币落地后的状态，即用列向量|+>表示正面向上，用列向量|->表示反面向上。这个符号是狄拉克创造的，所以又称狄拉克符号。列向量用箭头向右的矢量表示，即|>，又称右矢。在|和>中间的+、-用来标记不同的列向量，这里+和-分别表示正面向上和反面向上。在狄拉克的符号体系中，行向量则用箭头向左的矢量表示，即<|，又称左矢。同理，<+|和<-|分别表示正面和反面向上的左矢。从矩阵乘法中我们知道行向量乘列向量是一个数字，这一运算过程又称为内积，在这一符号体系下，内积就是<|>。在上一篇文章中我也讲到了内积，其几何含义是两个向量的重叠程度，如果两个单位向量的内积是1,那么这两个向量完全相同。因此，<+|+>=<-|->=1。如果两个向量内积是0,那么这两个向量毫不相关，互相独立。通俗地讲，内积为0的两个向量对应事物的两个对立面，就如同硬币正面朝上和反面朝上，这两者是完全对立的。所以我们应当有<+|->=<-|+>=0。
我们还可以将左右矢的排放顺序交换一下，这就对应于列向量乘以行向量，结果对应一矩阵，其维数与向量维数相同。还是看抛硬币这一问题，我们说过描述它的矩阵维数是2，因此矩阵是2x2的，共四个元素。我们可以将这个矩阵用狄拉克符号表示，即A=a_{++} |+><+| + a_{+-} |+><-| + a_{-+} |-><+| + a_{--} |-><-|. 其中a_{}表示矩阵A的四个元素。这一符号体系使我们可以不用再将矩阵理解为数字排成的阵列，相反它变成了一串左右矢排列而成的表达式。事实上，这一符号体系包含更多信息，不仅包含矩阵元，还包含了矩阵基矢的信息。下面的话可能作为科普不太恰当，但还是有必要提及。狄拉克符号的表示是抽象的，我们在表述行向量和列向量时并没有选择一组基底（坐标系），而是直接对抽象的物理对象命名，比如正面向上对应|+>,反面向上对应|->。一旦我们掌握了这些物理对象的关系（内积），我们就可以表示出整个系统，而不必拘泥于选定的具体基底（坐标系）。而事实上，对于不同的基底（坐标系），中间运算过程的矩阵必然不同，但是具有物理意义的量是不会因为选定的坐标系改变而改变的。所以如果我们能有一套符号体系脱离于这些繁杂的因为坐标系选取不同而不同的中间过程，直面最终可观测的物理量，那这一定是最便捷的。这就是人们为何钟爱狄拉克符号的原因，它是量子世界的语言。
我们下面来具体看看，如何仅通过内积的关系得到矩阵与向量的乘法。将矩阵A作用在一个列向量b=b_{+} |+> + b_{-} |->上，我们有
Ab=a_{++} b_{+} |+> + a_{+-} b_{-} |+> + a_{-+} b_{+} |-> + a_{--} b_{-} |-> = ( a_{++} b_{+} + a_{+-} b_{-} ) |+> + ( a_{-+} b_{+} + a_{--} b_{-} ) |->.
由此，我们看到矩阵乘法的核心就是内积的运算（至少在物理世界如此）。同理，矩阵和行向量的乘积也可以计算。依次，我们可以推导出矩阵元
a_{++}=<+|A|+>, a_{+-}=<+|A|->, a_{-+}=<-|A|+>, a_{--}=<-|A|->.
这些表达式在线性代数中都有类似的表达，但这套符号的优势是将向量和矩阵抽象化，仅使用了富有物理意义的左矢和右矢，免于沉浸于矩阵具体的数字表示中而忽略物理本质。当然，我想你多半不会喜欢这种表达，也不一定理解我所述的优势。当我们真正描述物理问题时，相信你一定就可以理解这套符号体系为何长盛不衰了。
三、 量子态
上一节讲过物理学家用右矢（列向量）|+>和|->表示硬币落地后的状态。那么在硬币落地前它处在什么状态哪？通常，教科书上喜欢管硬币落地前的状态叫作叠加态。数学上，这种状态可以表示成|b>=b_{+} |+> + b_{-} |->，即叠加态是落地后状态的线性组合。如果b_{+} 和 b_{-} 都非0，那么中间的状态|b>的确不等于|+>和|->. 之所以出现这种奇怪的状态，恰恰是为了解释本文第一节描述的怪异现象：面对一个确定的硬币中间态|b>，有时落地是|+>,有时是|->。也许你会认为只有叠加态是量子态，硬币落地后对应的|+>和|->不是量子态。这是不对的，它们都是量子态。换句话说，只要是形如|b>=b_{+} |+> + b_{-} |->的态就是量子态，我们可以取b_{}=0. 或者功利一点讲，只要是用狄拉克符号表示的都是量子态。
硬币在空中飞舞的过程中，不同时刻的状态也是不同的，这就对应不同时刻的系数b_{}不同。因此，我们可以用时间t参数化|b>，即|b(t)>=b_{+}(t) |+> + b_{-}(t) |->. 如何确定b_{}(t)在这篇文章不会讲述，等到我们了解了量子世界的基本构造后，我们再来讨论这一问题。但你需要记住的是，硬币在不同时刻的状态是不同的，这种不同体现在系数b_{}上。那么，我们现在把关注点放在落地前的瞬间t'，这时硬币的状态可以表示为|b(t')>=b_{+}(t') |+> + b_{-}(t') |->. 但是在下一瞬间，硬币的状态不是|+>就是|->。这不是个平滑变化的过程，是个跳变，体现在落地瞬间某个b_{}(t')突然变化为0，而且有的时候是b_{+}(t')跳变成0，有时却是b_{-}(t'). 虽然对于每一次硬币落地，我们无法预测结果。但是，如果我们统计多次硬币落地的结果，我们发现正面朝上和反面朝上的概率是趋向于一个确定值的。因此，物理学家在不确定中大胆提出了一个确定性的东西，那就是硬币落地结果的概率。注意，这种想法是永远无法验证的，因为概率的定义是基于无限多次测量的极限，然而我们没有办法做无限多次实验。但是，在足够多次实验后，我们发现硬币落地的分布的确趋向于某个几率分布。当然，这个分布应当取决于b_{+}(t')和b_{-}(t')。假设落地后的分布为正面朝上概率p_{+}=0.6，反面朝上概率p_{-}=0.4. 那么最简单的构造就是让b_{+}(t')=0.6, b_{-}(t')=0.4. 然而这种构造是有缺陷的，问题在于我们观察到了一些量子态的干涉现象，这使得对于每个b_{}我们需要用至少两个实数表示，那么最简单的构造就是用两个实数构造成复数。但显然最后的概率是实数，所以联系概率和复系数b_{}(t')最简单的方式就是p_{}=|b_{}(t')|2，即硬币落地的概率是复系数b_{}(t')的模平方。也许你对什么是复数并不熟悉，这也的确不是一个很简单的话题，因此我准备在下篇文章讲解一下复数。
说了这么多，估计你会觉得很乱，那我就尽量做个简短的总结吧。量子态通常被称作叠加态，叠加的对象是落地后的状态|+>和|->，叠加的系数属于复数域，其模平方对应于测量结果出现的概率。
四、 平行宇宙
也许你会问为什么一旦进行量子测量，量子态就从叠加态变成某个确定的状态|+>或|->了？这个问题很好，到现在人们也没有一个广泛认同的答案。这一话题在现阶段属于不能被证伪的范围，因此它不属于科学范畴。然而人总是要问为什么，总是需要意义和答案的，因此各种各样的解释应运而生。其中流传很广的一种解释叫多世界诠释，这是之后在宇宙学中总被大众提及的平行宇宙的先驱。
那么我们看看对于抛硬币这一事件，多世界诠释是怎么理解的。在落地瞬间，地面（测量仪器）与硬币（量子态）相互作用后分裂成两个不同的分支，在每一个分支中观测者仅能看到硬币一个确定性的朝向。即第一分支观测者只能看到硬币向上，第二分支观测者只能看到硬币向下。并且在每一分支的观测者无法看到另外分支的世界。这一过程通俗地说就是，在一次硬币落地的过程中，宇宙就会分为两个不同的平行宇宙，其中一个只能观测到硬币正面朝上，另一个只能观测到硬币反面朝上，而由于观测者只能处在其中某一个平行宇宙中，它也就只能观测到其中某一结果。
当然，你可能也感觉到了，这种诠释是很难被证伪的，恐怕是更适合哲学的话题。
 测验5: 函数和代码复用...)
