这是一个快速的演练.首先我们创建一个隐藏变量的矩阵.它有100个观察,有两个特点.

>> Y = randn(100,2);

现在创建一个加载矩阵.这将把隐藏的变量映射到观察到的变量上.说你观察到的变量有四个特征.那么你的加载矩阵需要是2×4

>> W = [1 1; 1 -1; 2 1; 2 -1]';

这告诉你,观察的第一部分是两个因素的总和,第二个是两个因素的差异,第三个和第四个是各种其他组合.

现在创建你的观察：

>> X = Y * W + 0.1 * randn(100,4);

我添加了少量随机噪声来模拟实验误差.现在我们使用stats工具箱中的princomp函数执行PCA：

>> [w pc ev] = princomp(X);

你应该如何解释这些？那么,pc是主要组件的矩阵.它应该拉出与原始Y变量非常接近的因子.你可以查看这个：

>> corr(pc(:,1),Y(:,1)); % returns -0.9981

>> corr(pc(:,2),Y(:,2)); % returns 0.9830

组合pc * w’将重新创建您的原始数据,减去其平均值.在执行PCA之前总是减去平均值.所以要获取我们做的原始数据

>> mu = mean(X);

>> xhat = bsxfun(@minus,X,mu); % subtract the mean

>> norm(pc * w' - xhat);

ans =

2.3385e-014

因为w是正交的,所以你也有Xhat * w = pc或者示意性地(即这个代码不会执行)

(X - mu) * w = pc <=> X = mu + pc * w'

要获得原始数据的近似值,您可以从计算的主要组件开始删除列.要了解哪些列要放弃,我们检查ev变量

>> ev

ev =

11.1323

3.0812

0.0116

0.0068

我们可以清楚地看到,前两个因素比第二个因素更重要.所以我们来试试看

>> Xapprox = pc(:,1:2) * w(:,1:2)';

>> Xapprox = bsxfun(@plus,mu,Xapprox); % add the mean back in

我们现在可以尝试绘图：

>> plot(Xapprox(:,1),X(:,1),'.'); hold on; plot([-4 4],[-4 4])

>> xlabel('Approximation'); ylabel('Actual value'); grid on;

它看起来像一个非常合理的近似值.它高估了一点,但我们不能都是完美的.

如果我们想要一个更粗略的近似,我们可以使用第一个主成分：

>> Xapprox = pc(:,1) * w(:,1)';

>> Xapprox = bsxfun(@plus,mu,Xapprox);

>> plot(Xapprox(:,1),X(:,1),'.'); hold on; plot([-4 4],[-4 4])

>> xlabel('Approximation'); ylabel('Actual value'); grid on;

这次重建不是很好.那是因为我们故意构造我们的数据有两个因素,我们只是从其中一个重建它们.

最后,您可能希望看到每个因素解释了多少差异.您可以使用ev变量来执行此操作：

>> 100*ev/sum(ev)

ans =

78.2204

21.6499

0.0818

0.0479

因此,第一个组件解释了78％的方差,下一个组件解释了大约22％,最后两个组件解释了其余部分.