通俗讲解-动量梯度下降法原理与代码实例

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一.动量梯度下降法介绍

1.1 动量梯度下降法简介与思想

1.2 动量梯度下降法的算法流程

二.动量梯度下降法代码实例

2.1 动量梯度下降法实例代码

一.动量梯度下降法介绍

本节介绍动量梯度下降法的思想以及算法流程

1.1 动量梯度下降法简介与思想

动量梯度下降法是对梯度下降法的一种改进，
这主要是因为梯度下降法在遇到局部最优时，毫无办法

为了解决跳出局部最优，动量梯度下降法为此模仿物体从高处滚到低处的原理，
由于物体具有动量，遇到小坑时会由于原有动量而跃出小坑,因此，动量梯度下降法在迭代的过程中引入动量的概念，它的迭代量改为"速度",而当前的负梯度只作为速度的修改量，

动量梯度下降法迭代公式如下：
$v_t=mc*v_{t-1}+(1-mc)*(-\text{lr}*g)$
$x_t = x_{t-1} +v_{t}$
其中，mc是动量系数，一般设为0.9，g是梯度
这样做的好处是，在遇到“小坑”的时候，会因为原有的速度方向，冲出小坑

1.2 动量梯度下降法的算法流程

动量梯度下降法的具体算法流程如下
一、设置参数与初始化相关变量
1. 设置学习率lr
lr一般设为0.1
2. 设置动量系数mc
mc一般设为0.9
3. 初始化速度v
v一般初始化为0
4. 初始化初始解x
x随机初始化,或者具体问题具体设定
二、循环迭代
按如下步骤进行迭代
1.计算当前的梯度g
2.计算当前的梯度对v带来的修改量dx
   $\text{dx = lr*(-}g)$
3.计算当前的速度
   $\text{v = mc*v+(1-mc)*dx}$
4.更新x
$\text{x = x + v}$
5.检查迭代终止条件

如果满足终止条件，就退出迭代程序

  终止条件可设如下：

(1)是否达到最大迭代次数

  (2)目标函数值是否满足要求

(3) x是否多次变化极小

三、输出结果
输出最终的求解结果x

二.动量梯度下降法代码实例

本节展示动量梯度下降法求解函数最小值的一个代码实例

2.1 动量梯度下降法实例代码

现求解 $\small \text{y} = 0.4*x^2+3*\textbf{exp}\left (-(x+2)^2\right)$ 的极小值
它的函数图像如下：

其中，梯度公式为 $\dfrac{\partial \text{y}}{\partial x}=0.8*x-6*\textbf{exp}(-(x+2)^2)*(x+2)$
按以上算法流程，编写程序如下(matlab)：

% 本代码用动量梯度下降法求解函数y = 0.4*x^2+3*exp(-(x+2)^2) 的极小值
% 代码主旨用于教学,供大家学习理解动量梯度下降法的原理
%  转载请说明来自 《老饼讲解神经网络》 bp.bbbdata.com
clc;clear all ;
line_x = -5:0.1:5;                            % 目标函数曲线x
line_y = 0.4*line_x.^2+3*exp(-(line_x+2).^2); % 目标函数曲线y
lr = 0.1;                                     % 学习率
mc = 0.9;                                     % 动量系数
x  = -4;                                      % x的初始值
v  = 0;                                       % 初始速度
for i = 1:100gx = -(0.8*x-6*exp(-(x+2).^2)*(x+2));      % 计算负梯度v  = mc*v+(1-mc)*lr*gx;                    % 将负梯度叠加到上一次速度中，作为本次的速度x  = x+v;                                  % 更新xy  = 0.4*x.^2+3*exp(-(x+2).^2);            % 计算当前的目标函数值fprintf('第%d轮x的迭代值x=%f\n',i,x)plot(line_x,line_y,x,y,'or')               % 画出曲线与当前迭代点drawnow;                                   % 展示图象
end

运行结果如下
第0轮x的迭代值x=-3.970198
第1轮x的迭代值x=-3.914051
第2轮x的迭代值x=-3.835152
第3轮x的迭代值x=-3.737256
第4轮x的迭代值x=-3.624348
....
第95轮x的迭代值x=0.033763
第96轮x的迭代值x=0.037061
第97轮x的迭代值x=0.041660
第98轮x的迭代值x=0.047361
第99轮x的迭代值x=0.053971
经过100步迭代，求得最后y在x=0.053971处取得极小值

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