一般筛法和快速线性筛法求素数求素数的一点总结

素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。

一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

void make_prime() {

memset(prime, 1, sizeof(prime));

prime[0]=false;

prime[1]=false;

int N=31700;

for (int i=2; i<N; i++)

if (prime[i]) {

primes[++cnt ]=i;

for (int k=i*i; k<N; k+=i)

prime[k]=false;

}

return;

}

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i , 比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。

不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，

①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等

②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n）， pi<=pj ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

需要证明的东西：

一个数会不会被重复筛除。
合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )

当 i = 2 时，就是上面①的情况，

当 i >2 时，就是上面②的情况，对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。

证明合数肯定会被干掉？用归纳法吧。

类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i<n; ++i )

for (j=i+1; j<=n; ++j)

{

.....

}

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。

第一种的优化，先判断奇偶。

#include<iostream>

using namespace std;

const long N = 200000;

long prime[N] = {0},num_prime = 0;

int isNotPrime[N] = {1, 1};

int main()

{

for(long i = 2 ; i < N ; i ++)

{

if(! isNotPrime[i])

prime[num_prime ++]=i;

//关键处1

for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] < N ; j ++)

{

isNotPrime[i * prime[j]] = 1;

if( !(i % prime[j] ) ) //关键处2

break;

}

return 0;

}

还有一种方法，即第一篇博客说的，实际上是幼拉脱斯展纳筛法，但只是作为学术，不怎么常用

int * eratosthenes(int n){
    int a=sqrt(n);
    int* array=new int[n+1];
    for(int i=0;i<n+1;i++){
        array[i]=i;
    }
    array[1]=0;
    for(int i=2;i<a+1;i++){
        if(array[i]!=0){
            for(int j=i+i;j<n+1;j+=i){
                array[j]=0;
            }
        }
    }
    return array;
}