简述

计算 $a^n$mod p

师从

本篇是观Vita君算法视频后总结，他是bilibili一位小up主：小学生Vita君
正所谓“生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之”，诚然如此。
【算法小知识】如何计算快速幂（上）

普通思路

(aaaaaa……aaa) % p

缺陷一：溢出

$a^n$可能会溢出

解决方案：边乘边模
基于 (a*b) mod p = (a mod p)(b mod p) 成立
(aaaa……)=(a%p)(a%p)(a%p)(a%p)……

缺陷二：运算次数多

当n较大时，运算次数很大，速度慢

解决方案：二分化思想
$a^n$=$a^{\frac{n}{2}}$$a^{\frac{n}{2}}$
$a^{\frac{n}{2}}$=$a^{\frac{n}{4}}$$a^{\frac{n}{4}}$
……
(当指数为奇数时，需额外乘a）
将时间复杂度O(n) → O(logn)

二分化快速幂模

#include<iostream>
using namespace std;typedef unsigned long long ull;
ull binpow(ull a, ull n, ull p)
{if (n == 0) return 1;a %= p;ull c = binpow(a, n / 2, p);if (n % 2 != 0) return c * c % p *( a % p );return c * c % p;
}
int main()
{ull a, n, p;cin >> a >> n >> p;cout<< binpow(a, n, p) % p<<endl;
}

非递归：

ull binpow(ull a, ull n, ull p)
{ull prod = 1;while(n > 0){if (n & 1) prod = prod * a % p;a *= a % p;n >>= 1;}return prod;
}