DFT原理：（单变量离散傅里叶变换）

数学基础：
任何一个函数都可以转换成无数个正弦和余弦函数的和的形式。
通常观察傅里叶变换后的频域函数可以获得两个重要的信息：幅频曲线和相频曲线。
在数字图像处理中的作用：
在数字图像处理中，对一张图片进行傅里叶变换后我们获得的是：实数图像（幅度图像）+虚数图像（相位图像）
傅里叶变换在数字图像处理中将空间域信息转为频域信息。
如果需要得到图像中的几何结构信息，就要用到离散傅里叶变换

在频域中高频和低频意义：

高频代表了图像的细节、纹理信息，（噪声）
低频代表图像的轮廓信息。
所以低通滤波器可以得到轮廓。

傅里叶变换可以应用的场景：

图像的增强与图像去噪
图像分割的边缘检测
图像特征提取
图像压缩

Opencv中离散傅里叶变换函数：

dft(input,output,flags,nonzeroRows);
//flags:标识符
//nonzeroRows：默认值为0，非零时，表示你想处理的那一行C.rows，计算时更加高效

dft函数应用实例

例1：用dft函数计算两个二维实矩阵卷积

例子包含的小知识点
1、Size类型

CvSize结构表示矩形尺寸的结构，结构体中分别定义了矩形的宽度和高度，具体定义如下：
typedef struct CvSize {
int width; /* 矩形宽度，单位为象素 /
int height; / 矩形高度，单位为象素 */
}CvSize;

2、getOptimalDFTSize()函数

返回DFT最优尺寸大小：getOpimalDFTSize()
函数返回给定向量尺寸的傅里叶最优尺寸大小、
input：向量尺寸，即图像的rows\cols

3、mulSpectrums()函数

void cvMulSpectrums( const CvArr* src1, const CvArr* src2, CvArr* dst, int flags );
src1
第一输入数组
src2
第二输入数组
dst
输出数组，和输入数组有相同的类型和大小。
flags
下面列举的值的组合:
DFT_COMPLEX_OUTPUT- 把数组的每一行视为一个单独的频谱 (参见 cvDFT 的参数讨论).
DFT_REAL_OUTPUT - 在做乘法之前取第二个输入数组的共轭.
函数 cvMulSpectrums 执行两个 CCS-packed 或者实数或复数傅立叶变换的结果复数矩阵的每个元素的乘法。

4、dft只能处理浮点数，所以需要将输入图像转为float类型
全部代码：

void convolveDFT(Mat& A,Mat& B, Mat& C)
{//【1】初始化输出矩阵C.create(abs(A.rows - B.rows) + 1, abs(A.cols - B.cols) + 1, A.type());Size dftSize;	//???什么意思//【2】计算DFT变换的尺寸dftSize.width = getOptimalDFTSize(A.cols + B.cols - 1);dftSize.height = getOptimalDFTSize(A.rows + B.rows - 1);//【3】分配临时缓冲区并初始化置零Mat tempA(dftSize, A.type(), Scalar::all(0));Mat tempB(dftSize, B.type(), Scalar::all(0));//【4】分别复制A和B到tempA和tempB的左上角Mat roiA(tempA, Rect(0, 0, A.cols, A.rows));A.copyTo(roiA);Mat roiB(tempB, Rect(0, 0, B.cols, B.rows));B.copyTo(roiB);//【5】就地操作，进行快速傅里叶变换，并将nonzeroRows参数置为非零，以进行更加快速的处理???为什么dft(tempA, tempA, 0, A.rows);dft(tempB, tempB, 0, B.rows);//【6】将得到的频谱相乘，结果存放于tempA中mulSpectrums(tempA,tempB,tempA, DFT_COMPLEX_OUTPUT);//DFT_REAL_OUTPUT//【7】将结果变换为频域且尽管行结果都为非零，我们只需要其中C.rows的第一行，所以采用nonzeroRows==C.rowsdft(tempA, tempA, DFT_INVERSE + DFT_SCALE, C.rows);//【8】将结果复制到C中tempA(Rect(0, 0, C.cols, C.rows)).copyTo(C);//所有的临时缓冲区将被自动释放，所以无须收尾操作
}
int main()
{SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_GREEN);		//字体为绿色//载入原图Mat srcImage = imread("D:\\opencv_picture_test\\形态学操作\\coin_inv.png", 0);	//读取灰度图Mat kernel = (Mat_<float>(3, 3) << 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1);cout << kernel;Mat floatI = Mat_<float>(srcImage);// change image type into floatMat filteredI;convolveDFT(floatI, kernel, filteredI);normalize(filteredI, filteredI, 0, 1,NORM_MINMAX); // Transform the matrix with float values into a// viewable image form (float between values 0 and 1).//imshow("image", srcImage);imshow("filtered", filteredI);		//这里显示报错，但是可以用ImageWatch查看，暂时不知道原因waitKey(0);return 0;
}

参考链接：
https://blog.csdn.net/lichengyu/article/details/18848281

利用傅里叶变换卷积和利用核游走整个图像进行卷积运算的区别

一般求法中，利用核游走整个图像进行卷积运算，实际上进行的是相关运算，真正意义上的卷积，应该首先把核翻转180度，再在整个图像上进行游走。OpenCV中的filter2D实际上做的也只是相关，而非卷积。

例2：显示一幅图像傅里叶变换后的频域图像

需要用的函数：
1、扩充图像边界：copyMakeBorder()

C++: void copyMakeBorder (InputArray src, OutputArray dst, int top, int bottom, int left, int right,int borderType, const Scalar&
value=Scalar () );
top
bottom
left
right
分别表示在四个方向上扩充多少个像素。
第七个参数：边界类型，常见取值BORDER_CONSTANT；
第八个参数：默认值为0，当边界类型取值为BORDER_CONSTANT时，这个参数表示边界值。

2、计算二维矢量的幅值：magnitude()

C++: void magnitude (InputArray X，InputArray Y, OutputArray magnitude)
X:矢量实部
Y:矢量虚部
magnitude:输出幅值，与x有相同的尺寸和类型

3、log()函数

C++: void 1og (InputArray srC， OutputArray dst)
计算每个数组元素绝对值的自然对数。
傅里叶变换的幅值范围大到不适合在屏幕上显示。
为了凸显出高低变化的连续性，可以用对数尺度来替换线性尺度。

3、矩阵归一化：normalize()函数

void cv::normalize(InputArry src,InputOutputArray dst,double alpha=1,double beta=0,int norm_type=NORM_L2,int dtype=-1,InputArray mark=noArry())
alpha 用来规范值或者规范范围，并且是下限；
beta 只用来规范范围并且是上限，因此只在NORM_MINMAX中起作用；
1.NORM_L1、NORM_INF、NORM_L2模式下归一化结果与beta无关，只与alpha有关，详见第4部分的公式说明；
2.NORM_MINMAX中alpha、beta都起作用，同时需要注意的是alpha和beta的取值顺序与归一化结果无关。即alpha=255,beta=0和alpha=0,beta=255最后的归一化结果是相同的。
归一化公式：

而其中的dtype为负数时，输出数组的type与输入数组的type相同；
否则，输出数组与输入数组只是通道数相同，而tpye=CV_MAT_DEPTH(dtype).

参考链接

实现流程：
1、载入原图
2、将图像扩大到合适的尺寸（当图像的尺寸是2.3.5的整数倍时，运行速度最快）
//将输入图像延扩到最佳尺寸，边界用0补充
3、为傅里叶变换的结果（实部和虚部）分配存储空间
4、进行离散傅里叶变化
5、将复数转化为幅值
6、进行对数尺度缩放（傅里叶变换的幅值范围大到不适合在屏幕上显示。为了凸显出高低变化的连续性，可以用对数尺度来替换线性尺度。）
公式：M1 = log(1+M);
7、剪切和重分布幅度图像限
因为在第二部中延扩了图像，现在需要将添加的像素剔除
为了方便显示，也可以重新分布幅度图像象限位置（将第五步得到的幅度图从中间划开得到4张1/4子图像，将每张子图都看成幅度图的一个象限，重新分布即将4个交点重叠到图像中心）这样的话原点（0,0）就为一道图像中心了。
//剪切和重分布幅度图像限
//如有奇数行或奇数列，进行频谱裁剪
//重新排列傅里叶图像中的象限，使得原点位于图像中心。
//交换象限（左上与右下进行交换）
//交换象限（左下与右上进行交换）
8、归一化
这一步仍然是为了显示。现在有了重分布后的幅度图，但是幅度值仍然超过了可显示范围【0,1】。这里使用归一化函数。
9、显示效果图
全部代码：

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>
#include "windows.h"
#include <stdio.h>
//#include "My_ImageProssing_base.h"using namespace cv;
using namespace std;void convolveDFT(Mat& A,Mat& B, Mat& C)
{//【1】初始化输出矩阵C.create(abs(A.rows - B.rows) + 1, abs(A.cols - B.cols) + 1, A.type());Size dftSize;	//???什么意思//【2】计算DFT变换的尺寸dftSize.width = getOptimalDFTSize(A.cols + B.cols - 1);dftSize.height = getOptimalDFTSize(A.rows + B.rows - 1);//【3】分配临时缓冲区并初始化置零Mat tempA(dftSize, A.type(), Scalar::all(0));Mat tempB(dftSize, B.type(), Scalar::all(0));//【4】分别复制A和B到tempA和tempB的左上角Mat roiA(tempA, Rect(0, 0, A.cols, A.rows));A.copyTo(roiA);Mat roiB(tempB, Rect(0, 0, B.cols, B.rows));B.copyTo(roiB);//【5】就地操作，进行快速傅里叶变换，并将nonzeroRows参数置为非零，以进行更加快速的处理???为什么dft(tempA, tempA, 0, A.rows);dft(tempB, tempB, 0, B.rows);//【6】将得到的频谱相乘，结果存放于tempA中mulSpectrums(tempA,tempB,tempA, DFT_COMPLEX_OUTPUT);//DFT_REAL_OUTPUT//【7】将结果变换为频域且尽管行结果都为非零，我们只需要其中C.rows的第一行，所以采用nonzeroRows==C.rowsdft(tempA, tempA, DFT_INVERSE + DFT_SCALE, C.rows);//【8】将结果复制到C中tempA(Rect(0, 0, C.cols, C.rows)).copyTo(C);//所有的临时缓冲区将被自动释放，所以无须收尾操作
}
int main()
{SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_GREEN);		//字体为绿色//1、载入原图Mat srcImage = imread("D:\\opencv_picture_test\\形态学操作\\coin_inv.png",0);	//读取灰度图//2、将图像扩大到合适的尺寸（当图像的尺寸是2.3.5的整数倍时，运行速度最快）//【2】将输入图像延扩到最佳尺寸，边界用0补充int m = getOptimalDFTSize(srcImage.rows);int n = getOptimalDFTSize(srcImage.cols);//将添加的像素初始化为0Mat padded;copyMakeBorder(srcImage, padded, 0, m - srcImage.rows, n - srcImage.cols, BORDER_CONSTANT,0);//3、为傅里叶变换的结果（实部和虚部）分配存储空间Mat planes[] = { Mat_<float>(padded),Mat::zeros(padded.size(),CV_32F) };Mat complexI;merge(planes, 2, complexI);//4、进行离散傅里叶变化dft(complexI, complexI);//5、将复数转化为幅值split(complexI, planes);//将多通道数组complexI分离成几个单通道数//planes[0] = Re(DFT(I));//planes[1] = Im(DFT(I));//计算矢量幅值magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);//将幅值存入planes[0] Mat magnitudeImage = planes[0];//6、进行对数尺度缩放magnitudeImage += Scalar::all(1);log(magnitudeImage, magnitudeImage);//就地操作，求自然对数//7、剪切和重分布幅度图像限magnitudeImage = magnitudeImage(Rect(0, 0, magnitudeImage.cols & -2, magnitudeImage.rows & -2));//这个&-2什么鬼？？？//重新排列傅里叶图像中的象限，使得原点位于图像中心。int cx = magnitudeImage.cols / 2;int cy = magnitudeImage.rows / 2;Mat q0(magnitudeImage, Rect(0, 0, cx, cy));	//ROI区域左上Mat q1(magnitudeImage, Rect(cx, 0, cx, cy));//ROI区域右上Mat q2(magnitudeImage, Rect(0, cy, cx, cy));//ROI区域左下Mat q3(magnitudeImage, Rect(cx, cy, cx, cy));//ROI区域右下//交换象限（左上与右下进行交换）Mat tmp;q0.copyTo(tmp);		//将q0与q3互换q3.copyTo(q0);tmp.copyTo(q3);//交换象限（左下与右上进行交换）q1.copyTo(tmp);		//将q1与q2互换q2.copyTo(q1);tmp.copyTo(q2);//8、归一化//这一步仍然是为了显示。现在有了重分布后的幅度图，但是幅度值仍然超过了可显示范围【0, 1】。这里使用归一化函数。normalize(magnitudeImage, magnitudeImage, 0, 1, NORM_MINMAX);//9、显示效果图imshow("原图", srcImage);imshow("频谱幅值", magnitudeImage);waitKey(0);return 0;
}

srcImage:

padded：

magnitudeImage：

每个图像的具体性质：