题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

1、暴力递归法的重叠子问题

暴力递归法最为常见，但是同时它的时间复杂度也是最高的，附带了许多重复计算。

class Solution {
public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;else if(n == 1 || n == 2) return 1;else return (fib(n - 1) + fib(n - 2))%1000000007;}
};

画出递归树：
在这里插入图片描述
算法时间复杂度为递归二叉树结点总数，为O(2^n)。f(18)、f(17)被重复计算了，并且以f(18)为根节点的递归树体积也是十分巨大的，如果再算一遍会耗费大量的时间。
这个问题性质我们可以描述为“重叠子问题”。

2、备忘录解法

既然是重复计算的问题，我们就可以构造一个备忘录。
每次计算出某个子问题的答案先别着急返回，先记到备忘录中再返回；
每次遇到一个子问题，先去备忘录中查找，如果已经解决了这个问题，就直接把答案拿过来用，不再进行计算。

class Solution {
public:int search_helperTab(vector<int >& helperTab,int n){//n较小的直接返回if(n == 1 || n == 2) return 1;//如果已经计算过了，直接返回计算过的值if(helperTab[n] != 0) return helperTab[n];//如果没有计算过，则需要重新计算一遍else{helperTab[n] = (search_helperTab(helperTab,n-1) + search_helperTab(helperTab,n-2))%1000000007;}return helperTab[n];}int fib(int n) {if(n==0) return 0;//构建一个备忘录vector<int >helperTab(n+1,0);return search_helperTab(helperTab,n);}
};

带备忘录的递归算法，将一颗存在巨量冗余的递归树剪枝为没有冗余的递归图。
递归算法时间复杂度=子问题个数 * 解决子问题所需要的时间。
由于不存在冗余计算，所以子问题个数为O(n);解决一个子问题的时间是O(1);
所以本算法的时间复杂度是O(n)。
注意，我们刚刚画的递归树是从上向下延伸的，都是从一个规模较大的原问题，向下逐渐分解规模，直到触底(f(1)、f(2)),然后逐层返回答案，这就是自顶向下。

如果直接从最底下的最小规模的f(1)、f(2)开始往上推导，直到f(20),这就是动态规划的思路。

3、dp数组迭代算法

class Solution {
public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;if(n == 1 || n == 2) return 1;//构建一个备忘录vector<int >dp(n+1,0);dp[1]=dp[2]=1;for(int i = 3;i <= n;i++)dp[i]=(dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007;return dp[n];}
};

4、滚动数组优化

状态方程中的当前状态只由前两个状态决定，所以不需要一个数组进行存放。

class Solution {
public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;if(n == 1 || n == 2) return 1;int pre=1,curr=1;for(int i = 3;i <= n;i++){int sum=(pre+curr)%1000000007;pre=curr;curr=sum;}return curr;}
};