对于一个带权的无向连通图，其每个生成树所有边上的权值之和可能不同，我们把所有边上权值之和最小的生成树称为图的最小生成树。
普里姆算法是以其中某一顶点为起点，逐步寻找各个顶点上最小权值的边来构建最小生成树。
其中运用到了回溯，贪心的思想。
----------2018年5月24日补：
#begin
根据定义我们可知，求一个图的最小生成树的时候，一定会将所有的点都连接起来，也就是说，我们从任何一个点出发都可以得到这个图的最小生成树，那么我这里暂定从0出发，寻找到和0相连的点中最小的权值，作为连接0这一个点的边（如果有相同的最小权值，则视要求处理），将0这一个点设置为不可访问，同时保存此时的连接点，将求到的这一个点做和0一样相同的处理...处理出n个点就可以求得这个图的最小生成树了（如果不能处理出n个点，那么此图的最小生成树也就不存在）。
#end
废话少说，直接上题吧！这些东西多练就好！
一、最小生成树：
1
6
0 6 1 5 0 0
6 0 5 0 3 0
1 5 0 5 6 4
5 0 5 0 0 2
0 3 6 0 0 6
0 0 4 2 6 0 15
//Asimple
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建图
int T, n;int prim()
{int Min, sum = 0;int adv[maxn]; //保存定点下标int lowc[maxn]; //保存权值adv[0] = lowc[0] = 0 ;//初始化for(int i=1; i<n; i++){lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有权值adv[i] = 0 ;}//构建过程for(int i=1; i<n; i++){Min = INF ;int j = 1 ;int k = 0 ;while( j < n ){if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<Min){Min = lowc[j] ;k = j ;}j ++ ;}sum += G[adv[k]][k] ;//计算最小权值//printf("%d,%d",adv[k],k);//打印节点lowc[k] = 0 ;//逐行遍历接下来的k个顶点for(int l=1; l<n; l++){if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] ){lowc[l] = G[k][l] ;adv[l] = k ;}}}return sum ;
}int main()
{cin >> T ;while( T -- ){cin >> n ;for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++){cin >> G[i][j];if( G[i][j] == 0 && i!=j )G[i][j] = INF ;}cout << prim() << endl ;}return 0;
}
二、判断最小生成树是否唯一
给出一个连通无向图，请判断其最小生成树是否是唯一的。
定义1（生成树）：给出一个连通无向图G=（V，E），G的一颗生成树被标记为T=（V，E），则具有以下性质：
1）V'=V；
2）T是连通无回路的。
定义2（最小生成树）：给出一个边带权的连通无向图G=（V，E），G 的最小生成树T=（v，E）是具有最小总耗费的生成树。T的总耗费表示E' 中所有边的权值的和。
第 一行给出一个整数t（１＜＝ｔ＜＝２０），表示测试用例数，每个测试用例表示一个图，测试用例的第一行给出两个整数ｎ，ｍ（１＜＝ｎ＜＝１００），分别表 示顶点和边的数目，后面的ｍ行每行是一个三元组（ｘｉ，ｙｉ，ｗｉ），表示ｘｉ和ｙｉ通过权值为ｗｉ的边相连。任意两个节点间至多只有一条边相连。
对于每个测试用例，如果ＭＳＴ是唯一的，输出其总耗费；否则输出字符串'Not Unique!'.
2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2 3
Not Unique!
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建图
int T, n, m, x, y, num;void prim()
{int Min, sum = 0;int adv[maxn]; //保存定点下标int lowc[maxn]; //保存权值bool flag = false ;adv[0] = lowc[0] = 0 ;//初始化for(int i=1; i<n; i++){lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有权值adv[i] = 0 ;}//构建过程for(int i=1; i<n; i++){Min = INF ;int j = 1 ;int k = 0 ;while( j < n ){if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<=Min){if( lowc[j] == Min ) flag = true ;Min = lowc[j] ;k = j ;}j ++ ;}sum += G[adv[k]][k] ;//计算最小权值lowc[k] = 0 ;//逐行遍历接下来的k个顶点for(int l=1; l<n; l++){if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] ){lowc[l] = G[k][l] ;adv[l] = k ;}}}if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl ;else cout << sum << endl ;
}int main()
{cin >> T ;while( T -- ){cin >> n >> m ;for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++){if( i == j ) G[i][j] = 0 ;else G[i][j] = INF ;}for(int i=0; i<m; i++){cin >> x >> y >> num ;G[x-1][y-1] = num ;G[y-1][x-1] = num ;}prim();}return 0;
}
2018年4月1日更正：
上面的代码过不了 POJ 1679。谢谢指点~~ 今天更改了下自己的程序。
| 18390068 | Asimple | 1679 | Accepted | 312K | 16MS | C++ | 1483B | 2018-04-01 20:08:48 |
//Asimple #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <queue> #include <stack> using namespace std; #define INF 0xffffff typedef long long ll ; const int maxn = 100+5; int n, T, num, cnt, x, y, t, m, w; int Map[maxn][maxn];void prim() {int lowc[maxn];for(int i=1; i<=n; i++) lowc[i] = Map[1][i];int sum = 0;bool flag = false;for(int l=1; l<n; l++) {int Min = INF;int k = 0;for(int j=2; j<=n; j++) {if( lowc[j]!=0 && Min > lowc[j] ) {k = j;Min = lowc[j];}}if( Min == INF ) break; sum += Min;int cnt = 0;for(int i=1; i<=n; i++)if( Map[k][i] == lowc[k] )cnt ++;if( cnt > 1 ) {flag = true;break;}lowc[k] = 0;for(int i=2; i<=n; i++) {if( lowc[i] > Map[k][i] ) {lowc[i] = Map[k][i];}}}if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl;else cout << sum << endl; }void input() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin >> T;while( T -- ) {cin >> n >> m;for(int i=1; i<=n; i++) {for(int j=1; j<=n; j++) {Map[i][j] = i==j?0:INF;}}while( m -- ) {cin >> x >> y >> w;Map[x][y] = min(Map[x][y], w);Map[y][x] = Map[x][y];}prim();} }int main() {input();return 0; }
.)
