【图】最短路径——Floyed算法和Dijkstra算法

最短路径问题(floyed.cpp dijkstra.cpp)

题目描述
平面上有n个点(n<=100)，每个点的坐标均在-10000～10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。
输入
第1行：1个整数n
第2..n+1行：每行2个整数x和y，描述了一个点的坐标
第n+2行：1个整数m，表示图中连线的数量
接下来有m行，每行2个整数i和j，表示第i个点和第j个点之间有连线
最后1行：2个整数s和t，分别表示源点和目标点
输出
第1行：1个浮点数，表示从s到t的最短路径长度，保留2位小数
样例输入
5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5
样例输出

3.41

#------------------------------------------------------------------------------#

最短路径也是有很多方法的，这里就讲讲Floyed和Dijkstra。

Floyed：

这种算法比较好理解，且可以求任意两点间的最短路径，但速度很慢，为O(N^3)。

首先，需要k[i][j]存从第i点到第j点间的最短路径，如果它们不相连，则为∞（无穷大）（在这里可以设为0x7fffffff，0x表示后面的数为16进制，7fffffff即是16进制数，化为10进制等于2147483647）。

然后需要3层循环，第一层：需要经过的点p，第二、三层起点i和终点j，然后就开始推，很像动规的，“状态转移方程”为：k[i][j]=min(k[i][j],k[i][p]+k[p][j])

这样不用考虑两点没联通的情况吗？之前的∞就有作用了，如果两点没联通的话是赋不了值的。

代码（Floyed）：

#include<cstdio>
#include<cmath>
struct p
{int x,y;
}a[102];//这个结构体是存平面直角坐标系的
int f[102][102];
double k[102][102];
int n,m,hhd;
int main()
{//freopen("floyed.in","r",stdin);//freopen("floyed.out","w",stdout);//文件输入输出int b,e;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);scanf("%d",&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);f[x][y]=f[y][x]=1;//邻接数组标记}scanf("%d%d",&b,&e);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(f[i][j])//如果两点有连接k[i][j]=sqrt(pow(a[i].x-a[j].x,2.0)+pow(a[i].y-a[j].y,2.0));//求两点距离，存入k数组elsek[i][j]=0x7fffffff;//反之则设为极大值for(int p=1;p<=n;p++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(k[i][j]>k[i][p]+k[p][j])k[i][j]=k[i][p]+k[p][j];//开始算法printf("%.2lf",k[b][e]);//输出从起点（b）到终点（e）的最短路径return 0;
}

                               ----我只是个小分割线----

Dijkstra：

此算法较（只是较前一种）快，时间复杂度为O(N^2)，注意，它不能处理负边权的情况。

而且这个只能求从一个起点（单源点）到其他任何点的距离，但解决这道题足够了。

一个一维数组dis[i]表示起点到i点的最短距离，k数组与上同，还需要一个bool数组判断该点是否用过。

思路：从起点到某个点一定会经过一个及以上的“中间点”，可以发现从起点到i点的最短路径中的每一个“中间点”到起点的距离都是相等的，就像动态规划的“最优子结构”性质，所以只要找出每个点的最短路径，即可知道起点到终点的最短路径。

为什么不能处理负边权呢？

如图，假如想要从1到3，最短的显然为1->2->3，共-2，但Dijkstra算法会先选择直接到3，因为这样为1，所以答案错误。

代码（Dijkstra）：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
struct p
{int x,y;
}a[102];
int _f[102][102];
bool f[102];
double k[102][102],dis[102];
int n,m;
int main()
{//freopen("dijkstra.in","r",stdin);//freopen("dijkstra.out","w",stdout);int b,e;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);scanf("%d",&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);_f[x][y]=_f[y][x]=1;}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(_f[i][j])k[i][j]=sqrt(pow(a[i].x-a[j].x,2.0)+pow(a[i].y-a[j].y,2.0));elsek[i][j]=0x7fffffff;//以上与Floyed相同scanf("%d%d",&b,&e);f[b]=1;for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=k[b][i];//将距离存进去for(int i=1;i<=n-1;i++){int p=0x7fffffff,w=0;//p为当前最小值，w为“中间点”下标for(int j=1;j<=n;j++)if(f[j]==0&&dis[j]<p){w=j;p=dis[j];//更新最小值}//查找“中间点”if(w==0)break;//如果全部没有，则表示找完了f[w]=1;//标记此点已用for(int j=1;j<=n;j++)if(dis[w]+k[w][j]<dis[j])dis[j]=dis[w]+k[w][j];//开始找进过w的最小值}printf("%.2lf",dis[e]);//输出return 0;
}

                                                                                                                                                                           By WZY