P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

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题目

题目描述

Farmer John 要带着他的 $n$ 头奶牛，方便起见编号为 $1\dots n$，到农业展览会上去，参加每年的达牛秀！他的第 $i$ 头奶牛重量为 $w_i$，才艺水平为 $t_i$，两者都是整数。

在到达时，Farmer John 就被今年达牛秀的新规则吓到了：

（一）参加比赛的一组奶牛必须总重量至少为 $W$（这是为了确保是强大的队伍在比赛，而不仅是强大的某头奶牛），并且。

（二）总才艺值与总重量的比值最大的一组获得胜利。

FJ 注意到他的所有奶牛的总重量不小于 $W$，所以他能够派出符合规则（一）的队伍。帮助他确定这样的队伍中能够达到的最佳的才艺与重量的比值。

输入格式

第一行是两个整数，分别表示牛的个数 $n$ 和总重量限制 $W$。

第 $2$ 到 $(n+1)$ 行，每行两个整数，第 $(i+1)$ 行的整数表示第 $i$ 头奶牛的重量 $w_i$ 和才艺水平 $t_i$。

输出格式

请求出 Farmer 用一组总重量最少为 $W$ 的奶牛最大可能达到的总才艺值与总重量的比值。

如果你的答案是 $A$，输出 $1000A$ 向下取整的值，以使得输出是整数（当问题中的数不是一个整数的时候，向下取整操作在向下舍入到整数的时候去除所有小数部分）。

样例 #1

样例输入 #1

3 15
20 21
10 11
30 31

样例输出 #1

1066

提示

样例解释

在这个例子中，总体来看最佳的才艺与重量的比值应该是仅用一头才艺值为 $11$、重量为 $10$ 的奶牛，但是由于我们需要至少 $15$ 单位的重量，最优解最终为使用这头奶牛加上才艺值为 $21$、重量为 $20$ 的奶牛。这样的话才艺与重量的比值为 $\frac{11+21}{10+20}=\frac{32}{30}=1.0666\dots$，乘以1000向下取整之后得到 $1066$。

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 250$，$1\le W\le 1000$，$1\le w_i\le 10^6$，$1\le t_i\le 10^3$。

思路

正解是01分数规划 + 背包

1、分数规划

二分答案
$$\sum \frac{t_i}{w_i}\ge mid$$
即
$$\sum (t_i-mid\ast w_i)\ge 0$$
所以
$$p_i=t_i-mid\ast w_i$$

2、背包

设 dp[i] 表示重量为 $i$ 时可以取到 $p$ 最大的值。

大于等于 $W$ 的都存在 $dp[W]$ 上，这个就是答案。

那么
$$dp[j+w[i]]=max(dp[j+w[i]],dp[j]+c[i])$$

code

#include <bits/stdc++.h>
#define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++)
#define fd(x , y , z) for(int x = y ; x >= z ; x --)
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 255 , M = 1005;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 1e8 + 5;
int n , W;
double p[N] , dp[M];
LL w[N] , t[N] , st;
double ck () {fu (i , 1 , W) dp[i] = -inf;fu (i , 1 , n) {fd (j , W , 0) {if (j + w[i] >= W) dp[W] = max (dp[W] , dp[j] + p[i]);else dp[j + w[i]] = max (dp[j + w[i]] , dp[j] + p[i]); }}return dp[W];
}
double fans () {double l = 0 , r = st , mid;while (r - l > eps) {mid = (l + r) / 2;fu (i , 1 , n) p[i] = t[i] - w[i] * mid;if (ck () >= eps) l = mid + eps;else r = mid;}return l;
}
int main () {scanf ("%d%d" , &n , &W);fu (i , 1 , n)scanf ("%lld%lld" , &w[i] , &t[i]) , st += t[i];printf ("%lld" , (LL)(fans () * 1000));return 0;
}