题目大意
对于一个很大的$n,m,p$如何求$C_{n+m}^m\mod p$？
Lucas定理
若$n_i,m_i$分别是$n,m$在$p$进制下第$i$位的数字，则有
$$C_n^m\mod p=\prod_{i=0}^{\log_p m}C_{n_i}^{m_i}\mod p$$
求法
按照定理式一个一个求组合数即可。
组合数并不用批量求。故预处理出各项阶乘值，然后运用
$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$
，因为取模P，运用乘法逆元、快速乘工具求解即可。
注意事项
- MAX_N应当为n,m的范围*2，因为n+m。
- 求组合数时，若m>n，返回0。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;#define ll long long
#define inv(a) Inv(a, P)
#define mult(a, b) Mult(a, b, P)const int MAX_N = 200010;
ll Fact[MAX_N];
ll P;void GetFact(int n, ll* Fact, ll p)
{Fact[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)Fact[i] = Fact[i - 1] % p * i % p;
}ll Exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{if (b == 0){x = 1;y = 0;return a;}ll d = Exgcd(b, a%b, x, y);ll tx = x;x = y;y = tx - a / b * y;return d;
}ll Inv(ll a, ll p)
{ll x, y;Exgcd(a, p, x, y);return (x % p + p) % p;
}ll Mult(ll a, ll b, ll p)
{ll ans = 0;while (b){if (1 & b)ans = (ans + a) % p;a = (a + a) % p;b >>= 1;}return ans;
}ll Comb(ll n, ll m)
{if (m > n)return 0;return mult(Fact[n], inv(mult(Fact[m], Fact[n - m])));
}ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{if (m == 0)return 1;return Comb(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}int main()
{int caseCnt;scanf("%d", &caseCnt);while (caseCnt--){ll n, m;scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &P);GetFact(n + m, Fact, P);printf("%lld\n", Lucas(n + m, m, P));}return 0;
}
)
