洛谷 P1968 美元汇率

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思路

这是一道比较简单的DP题

美元可由马克转化得到，马克可由美元转化得到，最后要求最大的美元值

我们可以用f数组来记录最大能达到多少马克和多少美元。

定义一个\(f[N][3]\)的数组，第一维表示到达了第i天

\(f[i][1]\)表示到第i天能得到的最大美元值

\(f[i][2]\)表示到第i天能得到的最大马克值

每天有两种选择的方式：

1. 转化成另一种货币
2. 不转化成另一种货币

这样就可以得出状态转移方程

\[f[i][1]=max(f[i-1][1],f[i-1][2]/w[i]*100.000)\]

\[f[i][2]=max(f[i-1][2],f[i-1][1]*w[i]/100.000)\]

（100.000是为了保证精度）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 110
using namespace std;double f[N][3],w[N];
int n;int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&w[i]);}f[1][1]=100;f[1][2]=w[1];for(int i=2;i<=n;i++){f[i][1]=max(f[i-1][1],f[i-1][2]/w[i]*100.000);f[i][2]=max(f[i-1][2],f[i-1][1]*w[i]/100.000);}printf("%.2lf",max(f[n][1],f[n][2]/w[n]*100.000));return 0;
}

优化

我们可以发现，第一维没有什么用，所以我在上面的解释也不能明确的解释出它的作用，因此我们可以把第一维删除，只使用2个值，状态转移方程如下

\[ f[1]=max(f[1],f[2]/w[i]*100.000)\]

\[f[2]=max(f[2],f[1]*w[i]/100.000)\]

#include<bits/stdc++.h>
#define N 110
using namespace std;double f[3],w[N];
int n;int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&w[i]);}f[1]=100;for(int i=1;i<=n;i++){double x=f[1];//如果下面使用f[1]，有可能f[1]的值早已改变，所以定义一个x,保证在使用的时候x的值没有改变f[1]=max(f[1],f[2]/w[i]*100.000);f[2]=max(f[2],x*w[i]/100.000);}printf("%.2lf",f[1]);return 0;
}