Luogu5298 [PKUWC2018]Minimax

太久没写博客了，过来水一发。感觉自己推式子的功力还不够。。。

题目链接：洛谷

首先我们想到，考虑每个叶节点的权值为根节点权值的概率。首先要将叶节点权值离散化。

假设现在是$x$节点，令$f_i,g_i$分别表示左/右节点的权值$=i$的概率。

若$w_x$来自于左儿子，则

$$P(w_x=i)=f_i*(p_x*\sum_{j=1}^{i-1}g_j+(1-p)*\sum_{j=i+1}^mg_j)$$

右儿子也是一样的。

所以在转移的时候需要顺便维护$f,g$的前/后缀和。

但是我们发现这样直接跑是$O(n^2)$的，肯定不行，但是每个节点的所有dp值都只依赖于两个儿子，而且区间乘法是可以使用lazy_tag的，所以可以使用线段树合并。

（等会儿，好像之前并没有写过。。。）

线段树合并就是对于值域线段树，合并的时候如果两棵树都有这个节点，那么就递归下去，否则直接按照上面的式子转移。

$f,g$的前/后缀和也可以放在参数里面顺便维护了。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define Rint register int
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int N = 300003, mod = 998244353, inv = 796898467;
 6 int n, v[N], tot, p[N], fa[N], head[N], to[N], nxt[N];
 7 inline void add(int a, int b){
 8     static int cnt = 0;
 9     to[++ cnt] = b; nxt[cnt] = head[a]; head[a] = cnt;
10 }
11 int root[N], ls[N << 5], rs[N << 5], seg[N << 5], tag[N << 5], cnt, ans;
12 inline void pushdown(int x){
13     if(x && tag[x] != 1){
14         if(ls[x]){
15             seg[ls[x]] = (LL) seg[ls[x]] * tag[x] % mod;
16             tag[ls[x]] = (LL) tag[ls[x]] * tag[x] % mod;
17         }
18         if(rs[x]){
19             seg[rs[x]] = (LL) seg[rs[x]] * tag[x] % mod;
20             tag[rs[x]] = (LL) tag[rs[x]] * tag[x] % mod;
21         }
22         tag[x] = 1;
23     }
24 }
25 inline void change(int &x, int L, int R, int pos){
26     if(!x) tag[x = ++ cnt] = 1;
27     pushdown(x);
28     ++ seg[x];
29     if(seg[x] >= mod) seg[x] = 0;
30     if(L == R) return;
31     int mid = L + R >> 1;
32     if(pos <= mid) change(ls[x], L, mid, pos);
33     else change(rs[x], mid + 1, R, pos);
34 }
35 inline int merge(int lx, int rx, int L, int R, int pl, int pr, int sl, int sr, int P){
36     if(!lx && !rx) return 0;
37     int now = ++ cnt, mid = L + R >> 1; tag[now] = 1;
38     pushdown(lx); pushdown(rx);
39     if(!lx){
40         int v = ((LL) P * sl + (mod + 1ll - P) * sr) % mod;
41         seg[now] = (LL) seg[rx] * v % mod;
42         tag[now] = (LL) tag[rx] * v % mod;
43         ls[now] = ls[rx]; rs[now] = rs[rx];
44         return now;
45     }
46     if(!rx){
47         int v = ((LL) P * pl + (mod + 1ll - P) * pr) % mod;
48         seg[now] = (LL) seg[lx] * v % mod;
49         tag[now] = (LL) tag[lx] * v % mod;
50         ls[now] = ls[lx]; rs[now] = rs[lx];
51         return now;
52     }
53     ls[now] = merge(ls[lx], ls[rx], L, mid, pl, (pr + seg[rs[rx]]) % mod, sl, (sr + seg[rs[lx]]) % mod, P);
54     rs[now] = merge(rs[lx], rs[rx], mid + 1, R, (pl + seg[ls[rx]]) % mod, pr, (sl + seg[ls[lx]]) % mod, sr, P);
55     seg[now] = (seg[ls[now]] + seg[rs[now]]) % mod;
56     return now;
57 }
58 inline void getans(int x, int L, int R){
59     pushdown(x);
60     if(L == R){
61         ans = (ans + (LL) seg[x] * seg[x] % mod * v[L] % mod * L % mod) % mod;
62         return;
63     }
64     int mid = L + R >> 1;
65     getans(ls[x], L, mid);
66     getans(rs[x], mid + 1, R);
67 }
68 inline void dfs(int x){
69     if(!head[x]){
70         change(root[x], 1, n, p[x]);
71         return;
72     }
73     for(Rint i = head[x];i;i = nxt[i]){
74         dfs(to[i]);
75         if(!root[x]) root[x] = root[to[i]];
76         else root[x] = merge(root[x], root[to[i]], 1, n, 0, 0, 0, 0, p[x]);
77     }
78 }
79 int main(){
80     scanf("%d", &n);
81     for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
82         scanf("%d", fa + i);
83         if(fa[i]) add(fa[i], i);
84     }
85     for(Rint i = 1;i <= n;i ++){
86         scanf("%d", p + i);
87         if(head[i]) p[i] = (LL) p[i] * inv % mod;
88         else v[++ tot] = p[i];
89     }
90     sort(v + 1, v + tot + 1);
91     for(Rint i = 1;i <= n;i ++)
92         if(!head[i]) p[i] = lower_bound(v + 1, v + tot + 1, p[i]) - v;
93     dfs(1);
94     getans(root[1], 1, n);
95     printf("%d", ans);
96 }