这道题和06年论文《从一类单调性问题看算法的优化》第一道例题很相似。
题意：给出n个矿的重量和位置，这些矿石只能从上往下运送，现在要在这些地方建造m个heap，要使得，sigma距离*重量最小。
思路：O(n ^ 3)的DP解法是很容易想出来的。
dp[i][j] 表示第i个矿石点是j个heap的最小花费。
dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[k][j - 1] + sigma(sum[i] - sum[k])) 。
其中i , j , k 分别要一重循环，所以复杂度达到10 ^ 9。
这显然是TLE的，所以需要优化。
我们可以来看状态转移方程，dp[i][j] = dp[k][j - 1] +( sum1[i] - sum1[k] ) * a[i] - (sum2[i] - sum2[k]) .其中sum1是1到i的总重量，sum2表示1到i的总重量*距离。
这样，我们就可以进行斜率优化了。
所以这一维就降成O（1）了。那总的复杂度就是O（n ^ 2）。
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Max 2505
#define FI first
#define SE second
#define ll long long
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x7ffffffffffffll
#define LL(x) ( x << 1 )
#define bug puts("here")
#define PII pair<int,int>
#define RR(x) ( x << 1 | 1 )
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define REP(i,s,t) for( int i = ( s ) ; i <= ( t ) ; ++ i )using namespace std;#define N 1111ll sum1[N] ;
ll sum2[N] ;
ll dp[N][N] ;
int qe[N] ;
ll a[N] , b[N] ;
int n , m ;
//分子
ll getU(int j , int k , int z){return dp[k][j - 1] + sum2[k] - (dp[z][j - 1] + sum2[z]) ;
}
//分母
ll getD(int k , int z){return sum1[k] - sum1[z] ;
}ll getDP(int i ,int j ,int k){return dp[k][j - 1] + (sum1[i] - sum1[k]) * a[i] - (sum2[i] - sum2[k]) ;
}int main() {while(cin >> n >> m){for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ )cin >> a[i] >> b[i] ;sum1[0] = sum2[0] = 0 ;for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){sum1[i] = sum1[i - 1] + b[i] ;sum2[i] = sum2[i - 1] + a[i] * b[i] ;
// cout << sum1[i] << " " << sum2[i] << endl;}for (int i = 0 ; i <= n ; i ++ )for (int j = 0 ; j <= m ; j ++) dp[i][j] = inf ;dp[0][0] = 0 ;for (int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){int head = 0 , tail = 0 ;qe[tail ++ ] = 0 ;for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){while(head + 1 < tail && getU(j , qe[head + 1] , qe[head]) <= a[i] * getD(qe[head + 1] , qe[head]))head ++ ;dp[i][j] = getDP(i , j , qe[head]) ;while(head + 1 < tail && getU(j , i , qe[tail - 1]) * getD(qe[tail - 1] ,qe[tail - 2]) <=getU(j , qe[tail - 1] , qe[tail - 2]) * getD(i , qe[tail - 1]))tail -- ;qe[tail ++ ] = i ;}}cout << dp[n][m] << endl ;}return 0 ;
}
