最短路径--Floyd算法

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法（暂时没看懂，望大神指教）

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

3.算法代码实现：

 1 typedef struct          
 2 {        
 3     char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
 4     int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
 5     int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
 6 }MGraph; 
 7 
 8 void Floyd(MGraph g)
 9 {
10  　　int A[MAXV][MAXV];
11  　　int path[MAXV][MAXV];
12  　　int i,j,k,n=g.n;
13  　　for(i=0;i<n;i++)
14     　　for(j=0;j<n;j++)
15     　　{ 　　
16              A[i][j]=g.edges[i][j];
17          　　 path[i][j]=-1;
18      　 }
19  　　for(k=0;k<n;k++)
20  　　{ 
21       　　for(i=0;i<n;i++)
22          　　for(j=0;j<n;j++)
23              　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
24              　　{
25                    　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
26                    　　path[i][j]=k;
27               　 } 
28     　} 
29 }

算法时间复杂度:O(n³)

结合代码并参照上图所示我们来模拟执行下这样才能加深理解：
第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

hdu-2544代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 1000000
int map[110][110];
int n;
void flyod()
{int i,j,k;for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)if(map[i][j]>(map[i][k]+map[k][j]))map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];}printf("%d\n",map[1][n]);
}
int main()
{int m;while(scanf("%d %d",&n,&m),n||m){int i,j,a,b,c;for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=n;j++)map[i][j]=MAX;for(i=0;i<m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);if(c<map[a][b])map[a][b]=map[b][a]=c;}flyod();}return 0;
}
//ac
//flyod算法，31ms