数据结构—图的应用

6.4图的应用

概念回顾—生成树

生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图。

一个图可以有许多棵不同的生成树、
含有n个顶点 n-1 条边的图不一定是生成树
所有生成树具有以下共同特点
生成树的顶点个数与图的顶点个数相同；
生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通；
一个有n个顶点的连通图的生成树有 n-1 条边；
在生成树中再加一条边必然形成回路。
生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的；

6.4.1无向图的生成树

Word排版成树形结构技巧

设图G=(V,E)是个连通图，当从图任一顶点出发遍历图G时，将边集E(G)分层两个集合T(G)和B(G)。其中T(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G)是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1(V,T)是图G的极小连通子图。即子图G1是连通图G的生成树。

6.4.2最小生成树

算法设计与分析之最小生成树问题_W_Tortoise的博客-CSDN博客_最小生成树问题

最小生成树：给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那棵生成树成为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。

1、构造最小生成树

构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用了MST的性质。

MST性质：设N=(V,E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若边(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边（u，v）的最小生成树。

最小生成树概念及其构建（Prim算法、Kruskal算法）_serendipityLB的博客-CSDN博客_最小生成树概念

MST性质解释：

在生成树的构造过程中，图中n个顶点分属两个集合：

已落在生成树上的顶点集：U
尚未落在生成树上的顶点集：V-U

接下来则应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。

2、构造最小生成树算法

普里姆（Prim）算法

数据结构中的算法 - 作业部落 Cmd Markdown 编辑阅读器

算法思想：

设N=（V,E）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
初始令U={u0}，（u0∈V），TE={}。
在所有u∈U，v∈V-U的边（u，v）∈E中，找一条代价最小的边（u0，v0）。
将（u0,v0）并入集合TE，同时v0并入U。
重复上述操作直至U=V为止，则T=（V,TE）为N的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

算法思想：

设连通图N=（V,E），令最小生成树初始状态只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量。
在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上（即：不能形成环），则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边。
依此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

最小生成树可能不唯一

两种算法比较

算法名	普里姆算法	克鲁斯卡尔算法
算法思想	选择点	选择边
时间复杂度	O(n²) (n为顶点数)	O(eloge) (e为边数)
适应范围	稠密图	稀疏图

6.4.3最短路径

典型用途：交通网络的问题—从甲地到乙地之间是否有公路连通？在有多条通路的情况下，哪一条路最短？

交通网络用有向网来表示：

顶点——表示地点

弧——表示两个地点有路连通，

弧上的权值——表示两地点之间的距离，交通费或途中所花费的时间等。

如何能够使一个地点到另一个地点的运输时间最短或运费最省？这就是一个求两个地点间的最短路径问题。

问题抽象：在有向网中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中个，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。

最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点，也不一定包含n-1条边。

第一类问题：两点间最短路径

数据结构之图(八)——最短路径问题_我有最短的最短的长度和最短路径图_daocaoren_的博客-CSDN博客

第二类问题：某源点到其他各点最短路径

[最短路径问题]Dijkstra算法(含还原具体路径) - 技术经验 - W3xue

两种常见的最短路径问题：

单源最短路径—用**Dijkstra（迪杰斯特拉）**算法
所有顶点间的最短路径—用**Floyd（弗洛伊德）**算法

1、Dijkstra算法

初始化：先找出从源点v0到各终点vk的直达路径（v0，vk），即通过一条弧到达的路径。
选择：从这些路径中找出一条长度最短的路径（v0，u）
更新：然后对其余各条路径进行适当的调整：
- 若在图中存在弧（u，vk），且（v0，u）+（u，vk）<（v0，vk），则以路径（v0，u，vk）代替（v0，vk）。
在调整后的各条路径中，再找长度最短的路径，依此类推。

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法：按路径长度递增次序产生最短路径。

把V分成两组：
- S：已求出最短路径的顶点的集合。
- T=V-S：尚未确定最短路径的顶点集合。
将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中。

保证（1）从源点v0到S中各顶点的最短路径长度都不大于从v0到T中任何顶点的最短路径长度。

（2）每个顶点对应一个距离值：

S中顶点：从v0到此顶点的最短路径长度。

T中顶点：从v0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度。

所有顶点间的最短路径：

方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次。

方法二：弗洛伊德（Floyd）算法。