数学建模(二)线性规划

课程推荐:6 线性规划模型基本原理与编程实现_哔哩哔哩_bilibili

目录

一、线性规划的实例与定义

1.1 线性规划的实例

1.2 线性规划的定义

1.3 最优解

1.4 线性规划的Mathlab标准形式

1.5 使用linprog函数

二、线性规划模型建模实战与代码

2.1 问题提出

2.2 基本假设

2.3 模型的分析与建立 

2.3.1 模型分析

2.3.2 建立模型

2.3.3 多目标线性规划模型转化为单目标线性规划模型——制定界限

2.3.4 求解


在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支:数学规划。而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

一、线性规划的实例与定义

1.1 线性规划的实例

例:某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为4千元与3千元。生产甲机床需用A、B机器加工,加工时间分别为每台 2小时和1小时;生产乙机床需用A、B、C三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大?

上述问题的数学模型:设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润z最大,则x1,x2应满足:

以上便是一个线性规划问题的数学模型,其中变量x1,x2称之为决策变量,(1.1)式被称为问题的目标函数,(1.2)中的几个不等式是问题的约束条件,记为s.t.(即subject to)。

1.2 线性规划的定义

目标函数约束条件均为线性函数,故被称为线性规划问题。线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。

1.3 最优解

满足约束条件的解x=[x,,L ,xI',称为线性规划问题的可行解,而使目标函数达到最大值的可行解叫最优解。

1.4 线性规划的Mathlab标准形式

线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便,Matlab中规定线性规划的标准形式:

其中c和x为n维列向量,A、Aeq为适当维数的矩阵,b、beq为适当维数的列向量。

Matlab中求解线性规划的命令为

Matlab中的linprog函数是一个线性规划求解器,可以用于求解线性规划问题。使用条件满足Mathlab线性规划标准形式

[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中,x返回的是决策向量的取值,fval返回的是目标函数的最优值,c为价值向量,A,b对应的是线性不等式约束,Aeq,beq对应的是线性等式约束,lb和ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量

1.5 使用linprog函数

求解的Matlab程序如下:

f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y

1. 目标函数中求max时,将目标函数的系数全部取反,即可看作求min,代入linprog函数,求得目标函数的最优值再取反回来,便得到了求max时目标函数的最优值(y)。这时,决策向量(x)的取值正对应着求max时目标函数的最优值,所以不变。

2. 约束条件中的不等号为大于号时,系数全部取反,代入linprog函数即可。

二、线性规划模型建模实战与代码

2.1 问题提出

        市场上有n种资产 s_i (i= 1,2,L ,n)可以选择,现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买 s_i平均收益率为r_i风险损失率为q_i,投资越分散,总的风险越少,总体风险可用投资的s_i中最大的一个风险来度量。
        购买 s_i 时要付交易费费率为p_i,当购买额不超过给定值u_i时,交易费按购买u_i计算。另外,假定同期银行存款利率是r_0既无交易费又无风险(r_0= 5%)。


        已知n=4时相关数据如表1.1。

        试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定资金M,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,使总体风险尽可能小。

2.2 基本假设

  • (1)投资数额M相当大,为了便于计算,假设M=1。
  • (2)投资越分散,总的风险越小。
  • (3)总体风险用投资项目s_i中最大的一个风险来度量。
  • (4)n+1 种 s_i资产之间是相互独立的。其中s0表示存入银行的资产。
  • (5)在投资的这一时期内,r_ip_iq_i为定值,不受意外因素影响。
  • (6)净收益和总体风险只受r_ip_iq_i影响,不受其它因素干扰。

2.3 模型的分析与建立 

2.3.1 模型分析

  • 1. 首先,我们要明确两个目标,即收益最大和风险最小,因此这是一个多目标规划模型
  • 2. 总体风险用所投资的 s_i 中最大的一个风险来衡量,即

                                                        max\{q_ix_i|i= 1,2,L ,n\}

  • 3. 购买 s_i (i= 1,L ,n) 所付交易费是一个分段函数,即

而所给的定值 u_i (单位:元)相对总投资M很小,p_iu_i更小可以忽略不计,这样购买 s_i净收益可以简化为(r_i-p_i)x_i

2.3.2 建立模型

其中,x_i 表示投资项目 s_i 的资金,i= 0,1,…,n;x0表示存入银行的资产。约束条件表示总资金投入必须等于M,投资项目 s_i 的资金必须大于等于0。

2.3.3 多目标线性规划模型转化为单目标线性规划模型——制定界限

方案一:固定风险水平,优化收益

在实际投资中,投资者承受风险的程度不一样, 若给定风险一个界限a,使最大的一个风险\frac{q_ix}{M}\leq a,可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

方案二:固定盈利水平,极小化最大风险

给定收益一个界限k。

方案三:设置投资偏好系数

投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时,希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重s (0<s≤1)和1-s,s称为投资偏好系数。

2.3.4 求解

模型一:

由于a是任意给定的风险度,没有一个确定的准则,不同的投资者有不同的风险度。我们从a= 0开始,以步长\Delta a = 0.001进行循环搜索,编制程序如下:

clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];A=[zeros(4,1 ),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];b=a*ones(4,1);Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];beq=1; LB= zeros(5,1);[x,Q]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,LB);Q=-Q; plot(a,Q,'*k');a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

可以看出,在a=0.006附近有一个转折点,在这一点左边,风险增加很少时,利润增长很快。在这一点右边,风险增加很大时,利润增长很缓慢,所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说,应该选择曲线的转折点作为最优投资组合,所对应投资方案为风险度a= 0.006,收益Q=0.2019,x0=0,x1= 0.24,x1= 0.4,x3= 0.1091,x4= 0.2212。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/35425.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

机器学习深度学习——seq2seq实现机器翻译(详细实现与原理推导)

&#x1f468;‍&#x1f393;作者简介&#xff1a;一位即将上大四&#xff0c;正专攻机器学习的保研er &#x1f30c;上期文章&#xff1a;机器学习&&深度学习——seq2seq实现机器翻译&#xff08;数据集处理&#xff09; &#x1f4da;订阅专栏&#xff1a;机器学习&…

机器学习编译系列

机器学习编译MLC 1. 引言2. 机器学习编译--概述2.1 什么是机器学习编译 1. 引言 陈天奇目前任教于CMU&#xff0c;研究方向为机器学习系统。他是TVM、MXNET、XGBoost的主要作者。2022年夏天&#xff0c;陈天奇在B站开设了《机器学习编译》的课程。   《机器学习编译》课程共分…

立即开始使用 3D 图像

一、说明 这个故事介绍了使用这种类型的数据来训练机器学习3D模型。特别是&#xff0c;我们讨论了Kaggle中可用的MNIST数据集的3D版本&#xff0c;以及如何使用Keras训练模型识别3D数字。 3D 数据无处不在。由于我们希望构建AI来与我们的物理世界进行交互&#xff0c;因此使用3…

了解 Langchain️是个啥?:第 1 部分

一、说明 在日常生活中&#xff0c;我们主要致力于构建端到端的应用程序。我们可以使用许多自动 ML 平台和 CI/CD 管道来自动化 ml 管道。我们还有像Roboflow和Andrew N.G.的登陆AI这样的工具来自动化或创建端到端的计算机视觉应用程序。 如果我们想在OpenAI或拥抱脸的帮助下创…

Day 26 C++ list容器(链表)

文章目录 list基本概念定义结构双向迭代器优点缺点List和vector区别存储结构内存管理迭代器稳定性随机访问效率 list构造函数——创建list容器函数原型示例 list 赋值和交换函数原型 list 大小操作函数原型示例 list 插入和删除函数原型示例 list 数据存取函数原型注意示例 lis…

论文详解 ——《SNR-Aware Low-light Image Enhancement》

文章目录 Abstract1.Introduction2. Related Work3. Our Method3.1 Long- and Short-range Branches3.2 SNR-based Spatially-varying Feature Fusion3.3 SNR-guided Attention in Transformer3.4 Loss Function 4. Experiments4.1. Datasets and Implementation Details4.2 Co…

6.1 安全漏洞与网络攻击

数据参考&#xff1a;CISP官方 目录 安全漏洞及产生原因信息收集与分析网络攻击实施后门设置与痕迹清除 一、安全漏洞及产生原因 什么是安全漏洞 安全漏洞也称脆弱性&#xff0c;是计算机系统存在的缺陷 漏洞的形式 安全漏洞以不同形式存在漏洞数量逐年递增 漏洞产生的…

前端开发:数组对象判断重复的方法详解

前言 在前端开发过程中,关于数据处理是非常常用的操作,尤其是通过算法处理从后端获取的数据甚为重要。而且在前端开发中,两大类型的数据处理是必备的:数组和对象。与其说是数据处理,不如说是数组和对象的处理。实际开发中,关于数组数据的处理所占比例更高,尤其是涉及到表…

使用Flask.Request的方法和属性,获取get和post请求参数(二)

1、Flask中的request 在Python发送Post、Get等请求时&#xff0c;我们使用到requests库。Flask中有一个request库&#xff0c;有其特有的一些方法和属性&#xff0c;注意跟requests不是同一个。 2、Post请求&#xff1a;request.get_data() 用于服务端获取客户端请求数据。注…

理解ConcurrentSkipListMap(有点类似于并发的TreeMap)

是一个分层的结构。 从最上面开始查找&#xff0c;最后层层往下查。 插入和删除有可能会引起节点Level的变更。 key是有序的&#xff0c;因此可以看做是并发的TreeMap

ubuntu18.04下配置muduoC++11环境

1.安装muduo依赖的编译工具及库 Cmake sudo apt-get install cmakeBoost sudo apt-get install libboost-dev libboost-test-devcurl、c-ares DNS、google protobuf sudo apt-get install libcurl4-openssl-dev libc-ares-dev sudo apt-get install protobuf-compiler libp…

带你了解SpringBoot支持的复杂参数--自定义对象参数-自动封装

&#x1f600;前言 本篇博文是关于SpringBoot 在响应客户端请求时支持的复杂参数和自定义对象参数&#xff0c;希望您能够喜欢&#x1f60a; &#x1f3e0;个人主页&#xff1a;晨犀主页 &#x1f9d1;个人简介&#xff1a;大家好&#xff0c;我是晨犀&#xff0c;希望我的文章…

【Github】SourceTree技巧汇总

sourceTree登录github账户 会跳转到浏览器端 按照Git Flow 初始化仓库分支 克隆远程仓库到本地 推送变更到远程仓库 合并分支 可以看到目前的本地分支&#xff08;main、iOS_JS&#xff09;和远程分支&#xff08;origin/main、origin/HEAD、origin/iOS_JS&#xff09;目前所处…

14_基于Flink将pulsar数据写入到HBase

3.7.基于Flink将数据写入到HBase 3.7.1.编写Flink完成数据写入到Hbase操作, 完成数据备份, 便于后续进行即席查询和离线分析 3.7.1.1.HBase基本介绍 hbase是基于Google发布bigTable论文产生一款软件, 是一款noSQL型数据, 不支持SQL. 不支持join的操作, 没有表关系, 不支持事…

链表OJ详解

&#x1f495;人生不满百&#xff0c;常怀千岁忧&#x1f495; 作者&#xff1a;Mylvzi 文章主要内容&#xff1a;链表oj详解 题目一&#xff1a;移除元素 题目要求&#xff1a; 画图分析&#xff1a; 代码实现&#xff1a; struct ListNode* removeElements(struct List…

基于chatgpt动手实现一个ai_translator

动手实现一个ai翻译 前言 最近在极客时间学习《AI 大模型应用开发实战营》&#xff0c;自己一边跟着学一边开发了一个进阶版本的 OpenAI-Translator&#xff0c;在这里简单记录下开发过程和心得体会&#xff0c;供有兴趣的同学参考&#xff1b; ai翻译程序 版本迭代 在学习…

Synchronized八锁

/** * Description: 8 锁 * 1 标准访问&#xff0c;先打印短信还是邮件 ------sendSMS ------sendEmail 2 停 4 秒在短信方法内&#xff0c;先打印短信还是邮件 ------sendSMS ------sendEmail 3 新增普通的 hello 方法&#xff0c;是先打短信还是 hello ------getHello ------…

Idea中使用statement接口对象,显示mysql版本号,所有库和表名

使用statement 接口对象&#xff0c;进行以下操作&#xff1a; 显示数据库版本号显示所有库显示所有库中的table表 显示数据库版本号&#xff1a; public class StatementDemo {Testvoid showall(){try{Statement st conn.createStatement();ResultSet rs st.executeQuery(…

pytest fixture 常用参数

fixture 常用的参数 参数一&#xff1a;autouse&#xff0c;作用&#xff1a;自动运行&#xff0c;无需调用 举例一&#xff1a;我们在类中定义一个function 范围的fixture; 设置它自动执行autouseTrue&#xff0c;那么我们看下它执行结果 输出&#xff1a; 说明&#xff1a;…