数学建模（二）线性规划

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一、线性规划的实例与定义

1.1 线性规划的实例

1.2 线性规划的定义

1.3 最优解

1.4 线性规划的Mathlab标准形式

1.5 使用linprog函数

二、线性规划模型建模实战与代码

2.1 问题提出

2.2 基本假设

2.3 模型的分析与建立

2.3.1 模型分析

2.3.2 建立模型

2.3.3 多目标线性规划模型转化为单目标线性规划模型——制定界限

2.3.4 求解

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支：数学规划。而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

一、线性规划的实例与定义

1.1 线性规划的实例

例：某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4千元与3千元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台 2小时和1小时;生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大?

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润z最大，则x1,x2应满足：

以上便是一个线性规划问题的数学模型，其中变量x1,x2称之为决策变量，(1.1)式被称为问题的目标函数，(1.2)中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

1.2 线性规划的定义

目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

1.3 最优解

满足约束条件的解x=[x,,L ,xI',称为线性规划问题的可行解，而使目标函数达到最大值的可行解叫最优解。

1.4 线性规划的Mathlab标准形式

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中规定线性规划的标准形式：

其中c和x为n维列向量，A、Aeq为适当维数的矩阵，b、beq为适当维数的列向量。

Matlab中求解线性规划的命令为：

Matlab中的linprog函数是一个线性规划求解器，可以用于求解线性规划问题。使用条件：满足Mathlab线性规划标准形式。

[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中，x返回的是决策向量的取值，fval返回的是目标函数的最优值，c为价值向量，A，b对应的是线性不等式约束，Aeq，beq对应的是线性等式约束，lb和ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量。

1.5 使用linprog函数

求解的Matlab程序如下：

f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y

1. 目标函数中求max时，将目标函数的系数全部取反，即可看作求min，代入linprog函数，求得目标函数的最优值再取反回来，便得到了求max时目标函数的最优值（y）。这时，决策向量（x）的取值正对应着求max时目标函数的最优值，所以不变。

2. 约束条件中的不等号为大于号时，系数全部取反，代入linprog函数即可。

二、线性规划模型建模实战与代码

2.1 问题提出

        市场上有n种资产 $s_i$ (i= 1,2,L ,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买 $s_i$ 的平均收益率为 $r_i$ ，风险损失率为 $q_i$ ，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的 $s_i$ 中最大的一个风险来度量。
        购买 $s_i$ 时要付交易费，费率为 $p_i$ ，当购买额不超过给定值 $u_i$ 时，交易费按购买 $u_i$ 计算。另外，假定同期银行存款利率是 $r_0$ ，既无交易费又无风险（ $r_0$ = 5%)。

        已知n=4时相关数据如表1.1。

        试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

2.2 基本假设

(1)投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1。
(2)投资越分散，总的风险越小。
(3)总体风险用投资项目 $s_i$ 中最大的一个风险来度量。
(4)n+1 种 $s_i$ 资产之间是相互独立的。其中s0表示存入银行的资产。
(5)在投资的这一时期内， $r_i$ ， $p_i$ ， $q_i$ 为定值，不受意外因素影响。
(6)净收益和总体风险只受 $r_i$ ， $p_i$ ， $q_i$ 影响，不受其它因素干扰。

2.3 模型的分析与建立

2.3.1 模型分析

1. 首先，我们要明确两个目标，即收益最大和风险最小，因此这是一个多目标规划模型。
2. 总体风险用所投资的 $s_i$ 中最大的一个风险来衡量，即

$max\{q_ix_i|i= 1,2,L ,n\}$

3. 购买 $s_i$ (i= 1,L ,n) 所付交易费是一个分段函数，即

而所给的定值 $u_i$ (单位:元)相对总投资M很小， $p_iu_i$ 更小可以忽略不计，这样购买 $s_i$ 的净收益可以简化为 $(r_i-p_i)x_i$ 。

2.3.2 建立模型

其中， $x_i$ 表示投资项目 $s_i$ 的资金，i= 0,1,…,n；x0表示存入银行的资产。约束条件表示总资金投入必须等于M，投资项目 $s_i$ 的资金必须大于等于0。

2.3.3 多目标线性规划模型转化为单目标线性规划模型——制定界限

方案一：固定风险水平，优化收益

在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险 $\frac{q_ix}{M}\leq a$ ，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

方案二：固定盈利水平，极小化最大风险

给定收益一个界限k。

方案三：设置投资偏好系数

投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重s (0<s≤1)和1-s，s称为投资偏好系数。

2.3.4 求解

模型一：

由于a是任意给定的风险度，没有一个确定的准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a= 0开始，以步长 $\Delta a$ = 0.001进行循环搜索，编制程序如下：

clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];A=[zeros(4,1 ),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];b=a*ones(4,1);Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];beq=1; LB= zeros(5,1);[x,Q]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,LB);Q=-Q; plot(a,Q,'*k');a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

可以看出，在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的转折点作为最优投资组合，所对应投资方案为风险度a= 0.006，收益Q=0.2019，x0=0，x1= 0.24，x1= 0.4，x3= 0.1091，x4= 0.2212。

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