前言需求
今天我们学习的是马踏棋盘算法，我们还是从一个场景里引入看看
马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
将马随机放在国际象棋的6×6棋盘Board0～5的某个方格中
提示：马按走棋规则(马走日字)进行移动
要求：每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部64个方格
一、马踏棋盘问题
马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是:图的深度优先搜索(DFS)的应用
还记得图的深度优先搜索(DFS)吗？
有些模糊或者不记得小伙伴可以看往期文章：图(广度优先与深度优先)
那么按照我们的简单思路，是不是要一个位置一个位置去踩坑看看？
那么按照我们的深度优先搜索，就要一步步走下去，直至达成任务
当我们的所选第三步的位置，无法达成完成任务
那么我们需要回溯，将原第三步更换到下一个位置里去
在以新第三步开始，进行搜索，也要一步步走下去，直至达成任务
二、通过示例来认识算法
根据我们之前简单的思路，首先我们需要创建一个棋盘的数组
当我们做出选择下一步的时候，我们需要将当前的位置标记为已访问，并根据当前位置计算出马儿能走那些位置，并放入到一个集合中里去
当然我们可以根据棋盘的情况来判断是否可以进行计算
注意：:马儿不同的走法、会得到不同的结果，效率也会有影响(需优化)
规则判断是否可走
那么我怎么知道这些位置是否可走呢？我是怎么计算出来的呢？
首先我们先分析当前位置的x、y坐标，按照规则进行计算：(马走日字)
我们先分析一下象棋里的马走日是怎么样的吧
马走日所说的是马从提棋位置到落棋位置是一个“日”子的对角线，在没有棋子踩住马脚时，马是可以随意走哪个方向的日字都是可以的
在有其他棋子在马的如图相关位置时，马就不能走该方向的日字了，我们也熟称“踩马脚了”。注意无论踩马脚的棋子是己方的棋子还是敌方的棋子，被踩方向的日字都不能走了
如果四只马脚都被踩了，那么这只马哪里都走不了了(如图)
在我们这个问题中，还请你看图关联看懂马儿怎么走的，即称马走日
当我们知道规则怎么玩了，就可以从图上看出来，每个点与当前点的关系
那么我们的马儿剩下的点与当前是什么关系呢？怎么走呢？
骑士周游算法思路
我们创建一个类存放棋盘行、列，并记录棋盘上的是否被访问过public class HorseChessboard {
private static int x;//棋盘的列数
private static int y;//棋盘的行数
//创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过
private static boolean visited[];
//使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问
private static boolean finished; // 如果为true,表示成功
}
我们使用Point 类来表示 (x, y) 坐标空间中的位置的点public class Point extends Point2D implements java.io.Serializable {
public int x;
public int y;
private static final long serialVersionUID = -5276940640259749850L;
public Point() {
this(0, 0);
}
public Point(Point p) {
this(p.x, p.y);
}
public Point(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
//以双精度型返回点的 X 坐标。
public double getX() {
return x;
}
//以双精度型返回点的 Y 坐标。
public double getY() {
return y;
}
//返回此点的位置。
@Transient
public Point getLocation() {
return new Point(x, y);
}
//将点的位置设为指定位置
public void setLocation(Point p) {
setLocation(p.x, p.y);
}
//将此点更改为具有指定位置
public void setLocation(int x, int y) {
move(x, y);
}
//将此点的位置设为指定的双精度坐标
public void setLocation(double x, double y) {
this.x = (int) Math.floor(x+0.5);
this.y = (int) Math.floor(y+0.5);
}
//将此点移动到 (x,y) 坐标平面中的指定位置。
public void move(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
//平移 (x,y) 位置的点，沿 x 轴平移 dx，沿 y 轴平移 dy，移动后得到点 (x+dx, y+dy)
public void translate(int dx, int dy) {
this.x += dx;
this.y += dy;
}
//确定两个点是否相等。
public boolean equals(Object obj) {
if (obj instanceof Point) {
Point pt = (Point)obj;
return (x == pt.x) && (y == pt.y);
}
return super.equals(obj);
}
// 返回此点的字符串表示形式及其在 (x,y) 坐标空间中的位置
public String toString() {
return getClass().getName() + "[x=" + x + ",y=" + y + "]";
}
}
根据思路，需要根据当前位置判断马儿能走那些位置，并将结果放入ArrayList集合中
public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
/**
* 功能:根据当前位置(Point对象),计算马儿还能走哪些位置(Point),并放入到一个集合中(ArrayList),最多有8个位置
* @param curPoint
* @return
*/
public static ArrayList next(Point curPoint){
ArrayList ps = new ArrayList<>();
//创建一个点
Point p1 = new Point();
//判断马儿是否能走5的位置
if((p1.x = curPoint.x - 2) >=0 && (p1.y = curPoint.y+1) >=0 ){
ps.add(new Point(p1));
}
return ps;
}
}
而其他点的位置与当前位置关系，我们之前也使用图解的方式分析，现在代码实现
public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
/**
* 功能:根据当前位置(Point对象),计算马儿还能走哪些位置(Point),并放入到一个集合中(ArrayList),最多有8个位置
* @param curPoint
* @return
*/
public static ArrayList next(Point curPoint){
ArrayList ps = new ArrayList<>();
//创建一个点
Point p1 = new Point();
//表示马儿可以走5这个位置
if((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y -1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走6这个位置
if((p1.x = curPoint.x - 1) >=0 && (p1.y=curPoint.y-2)>=0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走7这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < x && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走0这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < x && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走1这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 2) < x && (p1.y = curPoint.y + 1) < y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走2这个位置
if ((p1.x = curPoint.x + 1) < x && (p1.y = curPoint.y + 2) < y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走3这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < y) {
ps.add(new Point(p1));
}
//判断马儿可以走4这个位置
if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < y) {
ps.add(new Point(p1));
}
return ps;
}
}
那么会不会有小伙伴有疑惑？？
为什么走五那个位置就要>=0呢，走七的位置就要
我们先分析走五的位置的时候，为什么要>=0
同理，小于x，小于y代表我们只选择在棋盘内的点，超出的则不能走
骑士周游算法实践
往期我们使用的是二维数组代表这个点是否被访问过
但这里是36步都需要走一遍，那么我们其实可以使用一维数组进行表示
这样我们可以是用公式：马儿所在行 * 棋盘行 +马儿所在列 = 马儿下标 + 1public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
/**
* 完成骑士周游问题的算法
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前的位置的行 从0开始
* @param column 马儿当前的位置的列 从0开始
* @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
//标记当前棋盘执行的是第几步
chessboard[row][column] = step;
//row = 3 X = 6 column = 3 = 3 * 6 + 3 = 21 -1 = 20
visited[row * x + column] = true; //标记该位置已经访问
//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
ArrayList ps = next(new Point(column, row));
}
}
当我们获取到当前位置可以走的下一个位置的集合，就进行遍历递归public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
/**
* 完成骑士周游问题的算法
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前的位置的行 从0开始
* @param column 马儿当前的位置的列 从0开始
* @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
//标记当前棋盘执行的是第几步
chessboard[row][column] = step;
//row = 3 X = 6 column = 3 = 3 * 6 + 3 = 21 -1 = 20
visited[row * x + column] = true; //标记该位置已经访问
//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
ArrayList ps = next(new Point(column, row));
//遍历 ps
while(!ps.isEmpty()) {
Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
//判断该点是否已经访问过
if(!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过
traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
}
}
}
}
我们怎么区分当前节点的可以走的下一个位置的集合，是否一路就成功了呢？
使用step 和 应该走的步数比较：step = X * Y
假如当前节点的可以走的下一个位置的集合，没有一路就成功，怎么办？
取消该位置已访问，并将棋盘置为0，说明该节点处于回溯状态public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
/**
* 完成骑士周游问题的算法
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前的位置的行 从0开始
* @param column 马儿当前的位置的列 从0开始
* @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
chessboard[row][column] = step;
//row = 4 X = 8 column = 4 = 4 * 8 + 4 = 36
visited[row * x + column] = true; //标记该位置已经访问
//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
ArrayList ps = next(new Point(column, row));
//遍历 ps
while(!ps.isEmpty()) {
Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
//判断该点是否已经访问过
if(!visited[p.y * x + p.x]) {//说明还没有访问过
traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
}
}
//判断马儿是否完成了任务，使用 step 和应该走的步数比较 ，
//如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0
//说明: step < X * Y 成立的情况有两种
//1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完
//2. 棋盘处于一个回溯过程
if(step < x * y && !finished ) {
chessboard[row][column] = 0;
visited[row * x + column] = false;
} else {
finished = true;
}
}
}
接下来，让我们使用demo 测试一把这些思路与代码
我们采用上图的马儿作为起始位置，来测试看看public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
public static void main(String[] args) {
System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");
//测试骑士周游算法是否正确
x = 6;
y = 6;
int row = 4; //马儿初始位置的行，从1开始编号
int column = 3; //马儿初始位置的列，从1开始编号
//创建棋盘
int[][] chessboard = new int[x][y];
visited = new boolean[x * y];//初始值都是false
//测试一下耗时
long start = System.currentTimeMillis();
traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");
//输出棋盘的最后情况
for(int[] rows : chessboard) {
for(int step: rows) {
System.out.print(step + "\t");
}
System.out.println();
}
}
}
运行结果如下：
骑士周游算法，开始运行~~
共耗时: 40 毫秒
08 03 10 29 32 05
17 28 07 04 11 30
02 09 18 31 06 33
27 16 01 20 23 12
36 19 14 25 34 21
15 26 35 22 13 24
三、使用贪心思想进行优化
利用贪心算法的思想，对下一步的所有集合的数目, 进行非递减排序
什么是非递减？
递增的情况是：1、2、3、4、5、6、7、8、9
递减的情况是：9、8、7、6、5、4、3、2、1
非递增的情况是：9、8、7、6、5、5、4、3、2、1
非递减的情况是：1、2、2、3、3、4、4、5、6、7
目的：使马儿走的下一步是下一步集合中可选性最少的，减少回溯可能性public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
//根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序, 减少回溯的次数
public static void sort(ArrayList ps) {
ps.sort(new Comparator() {
@Override
public int compare(Point o1, Point o2) {
// TODO Auto-generated method stub
//获取到o1的下一步的所有位置个数
int count1 = next(o1).size();
//获取到o2的下一步的所有位置个数
int count2 = next(o2).size();
if(count1 < count2) {
return -1;
} else if (count1 == count2) {
return 0;
} else {
return 1;
}
}
});
}
}
那么怎么使用呢，我们在算法里进行排序优化public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
/**
* 完成骑士周游问题的算法
* @param chessboard 棋盘
* @param row 马儿当前的位置的行 从0开始
* @param column 马儿当前的位置的列 从0开始
* @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步
*/
public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {
//标记当前棋盘执行的是第几步
chessboard[row][column] = step;
//row = 3 X = 6 column = 3 = 3 * 6 + 3 = 21 -1 = 20
visited[row * x + column] = true; //标记该位置已经访问
//获取当前位置可以走的下一个位置的集合
ArrayList ps = next(new Point(column, row));
//对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目，进行非递减排序
sort(ps);
//遍历 ps
while(!ps.isEmpty()) {
Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
//判断该点是否已经访问过
if(!visited[p.y * X + p.x]) {//说明还没有访问过
traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
}
}
}
}public class HorseChessboard {
//省略其他关键性代码....
public static void main(String[] args) {
System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");
//测试骑士周游算法是否正确
x = 6;
y = 6;
int row = 4; //马儿初始位置的行，从1开始编号
int column = 3; //马儿初始位置的列，从1开始编号
//创建棋盘
int[][] chessboard = new int[x][y];
visited = new boolean[x * y];//初始值都是false
//测试一下耗时
long start = System.currentTimeMillis();
traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");
//输出棋盘的最后情况
for(int[] rows : chessboard) {
for(int step: rows) {
System.out.print(step + "t");
}
System.out.println();
}
}
}
运行结果如下：
骑士周游算法，开始运行~~
共耗时: 9 毫秒
08 03 10 29 32 05
17 28 07 04 11 30
02 09 18 31 06 33
27 16 01 20 23 12
36 19 14 25 34 21
15 26 35 22 13 24
从40毫秒 到9毫秒 这个速度还是很客观的，相比之前的算法更优一些
