面对需求的不确定性，报童模型是做库存优化的常见模型。而标准报童模型假设价格是固定的，此时求解一个线性规划问题，可以得到最优订货量，这种模型存在局限性。因为现实世界中价格与需求存在一定的关系，本文假设需求q是价格p的线性函数，基于历史需求数据学习回归直线的参数并计算拟合残差，带入到报童模型中，此时的报童模型变成一个二次规划问题，其目标函数是关于价格p是二次的。

方法

为提高报童模型的准确性，使用SAA算法解决随机优化问题，并与其他方法做对比。

对标准报童模型做的三个扩展

扩展1：允许rush order

当售卖当天需求量过高时，允许报童紧急订报，只是价格g比一般订购价格c稍高，即g>c；
如果定货太多，那么每份报纸会产生持货成本t，特别地，如果允许以一定价格回退给厂商，那么t<0 。但在这个文章中，仅考虑t>0的情况。
符号说明：
单份报纸的售价为p;
订货量是q;
目标函数是

扩展2：需求与价格呈线性相关

假设需求与价格的线性回归模型如下
$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{ϵ}_i$$
根据给定的数据集（含价格和需求量，即$\{(p_i,D_i)|i=1,2,...,n\}$），找出最佳拟合线性回归函数的参数。假设干扰项${ϵ}_i$具有随机性,根据历史数据$\{(p_i,D_i)|i=1,2,...,n\}$学习到参数${\beta }_0,{\beta }_1$，计算残差值 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi​∣i=1,2,...,n}。

• 对于价格固定的标准报童模型，求最优订货量
  如果新价格p出现，将计算好的残差值 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi​∣i=1,2,...,n}和新价格p带入模型$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{ϵ}_i$$，可以得到新价格p所对应的需求量估计值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di​^​∣i=1,2,...,n}，这些估计值会带入到标准报童模型中，求解该线性规划问题，从而得到最优订货量。
  关于计算需求量估计值的进一步解释，比如：估计参数${\beta }_0=1000,{\beta }_1=-2$，现有两个样本的拟合残差是15和-9，对于新价格2来说，需求量估计值有
  $1000-2\ast 2+15=1011$,
  $1000-2\ast 2-9=987$
• 对于价格不固定的扩展报童模型，求最优订货量和最优价格
  此时，目标函数
  
  中$p\ast D_i$就会变成$p\ast ({\beta }_0+{\beta }_{1}p+{ϵ}_i)$，这是价格p的二次函数。
  注意：上面目标函数中的$D_i$指的是新价格p所对应的第i个需求估计值，而不是原数据集中第i个样本的需求值。
  我觉得没有疑问了，这本身就是一个关于价格p的二次优化问题。

注：
为了求解这个问题，引入哑变量$h_i$，表示第i天成本的负值。如此一来，目标函数——利润函数可以表示为收益+成本负值的平均，其中收益指$p\ast D_i$，成本负值指$h_i$。

扩展3：分析数据集对最优订货量和最优价格的影响（最优订购量、最优价格的敏感性分析）

对原数据集做重采样，计算最优订货量、最优价格、对应的期望利润值。

任务

1. 根据给定数据集，估计出需求与价格之间的线性回归方程；
2. 给定参数c=0.5,g=0.75,t=0.15,利用残差数据 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi​∣i=1,2,...,n}，求价格p=1时的需求量估计值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di​^​∣i=1,2,...,n}；
3. 求价格p=1时的最优订货量（这是一个线性规划问题）；
4. 假设价格不是固定的，将需求量与价格的线性回归方程带入到报童模型中，解QP(二次规划问题，目标函数含价格的平方项)，得最优订货量、最优价格；
5. 分析最优价格、最优订货量是否对数据集敏感。对原数据集做重采样，重新估计需求与价格之间的线性回归函数参数 ，求最优价格和最优订货量；
6. 重复上述重采样、拟合操作，得到多组最优订货量和最优价格；为得到的最优订货量、最优价格、期望利润绘制直方图，观察统计规律。

建模

价格固定时

下面是思路，我用黄色荧光笔标了步骤，即
如果新价格p出现，将计算好的残差值 { ϵ i ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\epsilon_i|i=1,2,...,n\} {ϵi​∣i=1,2,...,n}和新价格p带入模型$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{ϵ}_i$$，可以得到新价格p所对应的需求量估计值 { D i ^ ∣ i = 1 , 2 , . . . , n } \{\hat{D_i}|i=1,2,...,n\} {Di​^​∣i=1,2,...,n}，这些估计值会带入到标准报童模型中，求解该线性规划问题，从而得到最优订货量。


上述模型的含义：目标函数是最大化利润，引入哑变量$h_i$表示第’i天的成本负值。
上面画黄线的约束表示：不管需求量大于还是小于订货量，利润都大于$h_i$。换言之，限制利润（不管需求量大于还是小于订货量）大于等于一个变量，这个变量大于等于负无穷。
??为什么成本负值数组h的约束不是$0>h>-\inf$ 做实验的时候，加上试试。会影响结果
将上述约束化简成Gurobi建模所需要的形式（如下图的蓝笔）
注：“Gurobi建模所需要的形式”是指“明确哪些是决策变量，哪些是决策变量的系数，哪些是右端项”，这里的决策变量有 $q,h_1,...h_N$。
化简步骤见图中黑笔

价格不固定时

我用蓝笔标注了步骤：
首先，获取需求-价格数据集，估计线性回归参数并计算残差数据；
接着，把$$D={\beta }_0+{\beta }_{1}p+{ϵ}_i$$带入到标准报童模型中，会得到一个二次规划问题。

将之前的拟合结果——残差数据、拟合函数参数等，带入到上述模型中，得到需求量估计值$D_i$，得到如下模型：

记录一个我没看懂的地方。我觉得作者的转换并没有把二次约束转成线性约束啊，难道是我对“二次规划”的定义理解出错了？我以为的二次规划是，目标函数是二次的，约束是一次的 数学优化问题。

关于上图的问题，我在纸上列了一下，作者的Gurobi模型应该是把上面两个约束的二次项$p^2$拿掉了（用报告里面的话说：拿到目标函数中了）。
??为什么可以直接拿掉呢
关于上面的约束如何化简成jupyter文件中Gurobi模型，我在草稿纸上简单列了一下，蓝色荧光笔标注的是Gurobi建模时所用的约束。
约束1：

约束2：

上图还有一个问题是，目标函数中决策变量$h_i$的系数应该是1。这一点可以从两个地方看出来：第一，老师给的作业说明（见上面“扩展2”中，$h_i$的含义说明——成本负值）；第二，作者的Gurobi建模obj数组中目标函数系数的指定。

最优解的稳定性分析

目标：探究使用不同的数据集是否会影响到最优解——最优价格和最优订货量
做法：对原数据集做1000次重采样，每次采样随机抽取99组样本形成新数据集。然后，针对新数据集，计算并收集最优订货量和最优价格，以及对应的最优利润expect_profit。绘制最优订货量、最优价格、最优价格的分布直方图，发现大致服从正态分布，且最优价格与之前LP中的预定价格1相差不大，expect_profit的均值也与之前LP的expect_profit相差不大。

注：新数据集与原数据集样本顺序是不同的。（我觉得这里有些不妥……应该设计新数据集是原数据集的子集，然后观察最优解的统计规律）

我给这个报告添加了一个conclusion，如下图