二叉树的讲解

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二叉树

二叉树的性质
二叉树的链式结构
- 二叉树的遍历
- - 前序遍历
  - 中序遍历
  - 后序遍历
  - 层序遍历
- 二叉树的销毁
- 二叉树的查找

二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为02 ,则有n0 ＝n2 ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps：是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的链式结构

一般来说，二叉树分为二叉链和三叉链，二叉链就是结构里面一个左孩子节点，一个右孩子节点，三叉链多了一个父亲节点，我们比较经常见的都是二叉链的，所以我们主要讲的也是二叉链。

结构：

typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

我们在看任意一颗二叉树时，都可以将它分为三部分，根，左子树，右子树，左子树也可看成根，左子树，右子树，右子树也可看成根，左子树，右子树，因此二叉树定义是递归式的，我们后面的代码也是主要靠递归来实现的。

二叉树的遍历

二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。

二叉树的遍历分为，前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历，其中前中后序遍历是递归定义的，而层序遍历是非递归遍历的。

前序遍历

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。前序先访问根节点，再访问左子树，再访问右子树。

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代码如下：

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%d ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

递归图：
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大家可以根据这个递归展开图好好理解一下，后面的二叉树基本操作都是需要用递归来实现的。

中序遍历

中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

代码如下：

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%d ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);}

后序遍历

后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

代码如下：

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

这三种遍历本质上都是一样的，理解清楚一个，另外两个就很简单了。

层序遍历

层序遍历和其他三种都不一样，设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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那这个要怎么实现呢？

我们需要借助我们的队列，我们可以先把根节点入到队列里，然后开始出队列，只不过每次出的时候如果它的左孩子不为空就将左孩子入队列，右孩子不为空就将右孩子入队列，以此类推。我们就是利用了队列的先进先出，我们就可以轻松地完成层序遍历。

代码如下：

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q,root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}printf("%d ", front->data);}printf("\n");
}

二叉树的销毁

二叉树的销毁很简单，我们需要遍历一遍二叉树，但是我们用那种遍历呢，如果用前序，那么就会销毁根节点，就找不到它的左孩子和右孩子，明显是不合适的，最好的情况就是我们先去销毁它的左孩子，再去销毁他的右孩子，然后再销毁根节点，所以这里我们使用后序遍历是比较合适的。

代码如下：

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

二叉树的查找

二叉树的查找的基本思路也是遍历一遍二叉树，但是我们需要返回这个节点，这就给我们的难度增加了很多，我们这里想的是先看根节点是不是，如果不是就去他的左子树找，如果找到了就返回，否则就去它的右子树找，找到就返回该节点，最后都找不到我们就返回NULL.

代码如下：

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x);if (left != NULL){return left;}BTNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x);if (right != NULL){return right;}return NULL;
}