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前言

在基于QAM调制的matlab仿真程序中，我们通常会产生二进制比特流，并最终映射成QAM符号，该符号大都是格雷编码的。在坐标系中，相邻符号之间的横纵坐标值一般相差为2，那么用这个星座图仿真是不是正确的呢？

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一、归一化能量计算原理

我们大都是对4QAM符号，也就是QPSK符号的归一化很熟悉，至少我之前是这样认为的，并且一瞬间就能想到它的归一化能量之后的符号的值。也就是对每一个QPSK符号

例如：1+1i

都除以$\sqrt{2}$,之前认为是$\sqrt{1^2+1^2}$这样计算的，而且大都时候，我们都是可以直接使用matlab中qammod函数中的“UnitAveragePower”参数，直接得到归一化能量的QAM符号。但是掌握并理解星座图中QAM符号的归一化能量计算，对于不同阶数QAM之间的联系，会有更深刻的理解。

那么，QPSK符号的归一化能量是怎么计算的呢？

因为QPSK四种符号出现的概率都为$\frac{1}{4}$,每个符号的能量为$1^2+1^2=2$，所以每个符号的平均符号能量为$Es{m}_{a}ve=\frac{1}{4}\times (2+2+2+2)=2$，那么为了将该能量归一化为1，则每个符号的平均能量除以2，那么对于每个符号的横纵坐标（幅值与相位）就是除以$\sqrt{2}$,所以最终的归一化能量QPSK符号为：

0.707 + 0.707i
0.707 - 0.707i
-0.707 + 0.707i
-0.707 - 0.707i

那么16QAM的归一化能量是怎么计算的呢？

16QAM符号的归一化能量计算与QPSK符号类似，但是有一些细节值得注意。
我们知道对于16QAM符号而言，信号幅度和相位分别取了4种，包括[-3 -1 1 3]，所以信号会有$4^2$种。如下图所示：

对于黑色的星座点，它们的能量为$1^2+1^2=2$，共有4个点，点的出现概率为$\frac{1}{4}$；
对于蓝色的星座点，它们的能量为$1^2+3^2=10$，共有8个点，点的出现概率为$\frac{1}{2}$；
对于绿色的星座点，它们的能量为$3^2+3^2=18$，共有4个点，点的出现概率为$\frac{1}{4}$；
所以16QAM星座图的总能量为$2\times 4+10\times 8+18\times 4=160$,所以每个符号的平均能量为10，那么为了得到归一化能量的符号，则除以10，得到平均能量为1的16qam符号，那么对应在星座图的横纵坐标（幅度和相位）就是除以$\sqrt{10}$，例如：

$\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}i$

那么针对64QAM和256QAM符号来说，计算方法是一样的。

二、Matlab中如何得到归一化能量符号

qam4_signal = qammod(Intger,k_4qam,'gray','UnitAveragePower', true);

其中：
Intger是整数值，例如对于QPSK，整数值包括[0 1 2 3]；
k_4qam是QAM的阶数，对于QPSK就是4；
'gray’是指格雷编码；
‘UnitAveragePower’, true，而这两个参数就是进行归一化能量的参数。

当然了，如果想自己编写也是很简单的。
归一化能量的4QAM~256QAM如下图所示：

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总结

本博文给出了不同阶数QAM调制星座图中，符号能量的归一化计算原理和方法。