背包问题九讲_背包问题

背包问题九讲

我发现背包问题既棘手又有趣。我敢肯定，如果您正在访问此页面，您已经知道了问题说明，但是只是为了完成本章：

问题：

给定一个最大容量为W和N的背包，每个背包都有自己的值和重量，将它们放入背包中，使最终内容物具有最大值。 kes！

链接到Wiki中的问题页面

这是解释问题的一般方法-考虑一个小偷进入家中抢劫，他背着背包。家里有固定数量的物品-每个物品都有自己的重量和价值-珠宝首饰，重量和重量比桌子高，价值少，但重量重。为了给火上加油，小偷有一个老式的背包，容量有限。显然，他不能将桌子分成两半，也不能将珠宝分成3/4分。他要么接受要么离开。

范例：

Knapsack Max weight     :       W = 10 (units)Total items             :       N = 4Values of items         :       v[] = {10, 40, 30, 50}Weight of items         :       w[] = {5, 4, 6, 3}

粗略看一下示例数据可知，在最大权重为10的情况下，我们可以容纳的最大值为50 + 40 = 90（权重为7）。

方法：

最佳解决方法是使用动态编程-解决较小的背包问题，然后将其扩展为较大的问题。

让我们构建一个名为V（值数组）的Item x权重数组：

V[N][W] = 4 rows * 10 columns

此矩阵中的每个值代表一个较小的背包问题。

基本案例1 ：让我们以第0列为例。这仅意味着背包的容量为0。你能在他们身上抱什么？没有。因此，让我们用0填充它们。

基本情况2 ：让我们以0行为例。这仅表示房子中没有物品。如果没有物品，您在背包里会做什么？没事了！全零。

Varray0

解：

现在，让我们开始逐行填充数组。第1行和第1列是什么意思？给定第一个项目（行），您能否将其容纳在容量为1（列）的背包中。不。第一项的权重为5。因此，让我们填写0。实际上，直到到达第5列（权重5），我们才能填写任何内容。
一旦我们到达第一行的第5列（代表权重5），这意味着我们可以容纳第1项。让我们在此处填写10（请记住，这是一个Value数组）：
继续，对于权重6（第6列），我们是否可以容纳剩余重量为1（重量–该项目的重量=> 6 – 5）的任何其他东西。嘿，记住，我们在第一个项目上。因此，从直觉上讲，该行的其余部分也将是相同的值，因为我们无法为已获得的额外重量添加任何其他项目。
因此，当我们到达第三行的第4列时，会发生下一个有趣的事情。当前的跑步重量为4。

我们应检查以下情况。

我们可以容纳项目2 –是的，我们可以。项目2的权重为4。
如果没有第2项，当前重量的值是否会更高？ –检查上一行是否具有相同的重量。不。前一行*的内容为0，因为我们无法容纳重量为4的商品1。
我们是否可以容纳两个重量相同的物品，以使价值最大化？ - 不。减去Item2的权重后的剩余权重为0。

Varray3

为什么要上一行？

仅仅是因为权重为4的前一行本身是一个较小的背包解决方案，它给出了该权重在该点之前可以累积的最大值（遍历所有项目）。

举例来说，

当前项目的值= 40
当前商品的重量= 4
剩下的权重= 4 – 4 = 0
检查上面的行（如果是项目1，则检查上面的项目；如果其余的行，则检查累积最大值）。对于剩余重量0，我们是否可以容纳项目1？简而言之，对于给定的重量，上一行是否有任何值？

计算如下：

不带此项，取相同重量的最大值：

previous row, same weight = 0=> V[item-1][weight]

取当前商品的价值+我们可以用剩余重量容纳的价值：

Value of current item
+ value in previous row with weight 4 (total weight until now (4) - weight of the current item (4))=> val[item-1] + V[item-1][weight-wt[item-1]]

两者之间的最大值为40（0和40）。

下一个也是最重要的事件发生在第9列和第2行。这意味着我们的权重为9，并且有两项。查看示例数据，我们可以容纳前两个项目。在这里，我们考虑几件事：
```
1. The value of the current item = 40
2. The weight of the current item = 4
3. The weight that is left over = 9 - 4 = 5
4. Check the row above.  At the remaining weight 5, are we able to accommodate Item 1.
```

因此，计算公式为：

不带此项，取相同重量的最大值：
```
previous row, same weight = 10
```

取当前商品的价值+我们可以用剩余重量累计的价值：

Value of current item (40)
+ value in previous row with weight 5 (total weight until now (9) - weight of the current item (4)) = 10

10比50 = 50。

解决所有这些较小的问题后，我们只需要返回权重为10的V [N] [W] –项目4的值：

Varray5

复杂

分析解决方案的复杂性非常简单。我们只是在N => O（NW）的循环中有一个W循环

实现方式：

这是Java中的强制性实现代码：

class Knapsack {public static void main(String[] args) throws Exception {int val[] = {10, 40, 30, 50};int wt[] = {5, 4, 6, 3};int W = 10;System.out.println(knapsack(val, wt, W));}public static int knapsack(int val[], int wt[], int W) {//Get the total number of items. //Could be wt.length or val.length. Doesn't matterint N = wt.length; //Create a matrix. //Items are in rows and weight at in columns +1 on each sideint[][] V = new int[N + 1][W + 1]; //What if the knapsack's capacity is 0 - Set//all columns at row 0 to be 0for (int col = 0; col <= W; col++) {V[0][col] = 0;}//What if there are no items at home.  //Fill the first row with 0for (int row = 0; row <= N; row++) {V[row][0] = 0;}for (int item=1;item<=N;item++){//Let's fill the values row by rowfor (int weight=1;weight<=W;weight++){//Is the current items weight less//than or equal to running weightif (wt[item-1]<=weight){//Given a weight, check if the value of the current 
//item + value of the item that we could afford 
//with the remaining weight is greater than the value
//without the current item itselfV[item][weight]=Math.max (val[item-1]+V[item-1][weight-wt[item-1]], V[item-1][weight]);}else {
//If the current item's weight is more than the
//running weight, just carry forward the value
//without the current itemV[item][weight]=V[item-1][weight];}}}//Printing the matrixfor (int[] rows : V) {for (int col : rows) {System.out.format("%5d", col);}System.out.println();}return V[N][W];}}