Nim游戏:取石头

(一)一堆取石头

背景:

在博弈论中,有一种称为Nim游戏的经典问题,它涉及到取石子的问题,其中有许多变种。Nim游戏是一种零和博弈,即两名玩家交替行动,每次只能从一堆物品中取走一定数量的物品,无法分割物品。

题目中描述的场景是这样的:

有n个石头,两名玩家轮流进行操作,每次可以从石头堆中取走1到m个石头(其中m是一个固定的正整数)。玩家可以根据自己的策略选择取多少个石头,目标是使自己取得最后一个石头。

题解思路:

令 ans = n%(m+1)(为什么这样令,后面会讲解)

判断是否存在先手必胜策略这一问题,即可一开始检验石子堆中的ans是否为0,当ans为0时,你面对的是ans==0的局面,你的任意操作都会使得当前ans不为0,你的对手又足够聪明,那你每执行一步,他都会再次把ans==0的局面返还给你,那你最后必输;

当ans不为0时,你先手,你又足够聪明,你每次执行后都可以把ans==0的局面留给对手,最后你必胜。

  • 为什么令 ans = n%(m+1)?

当先手玩家取石头使石头个数 n 能够被(m+1)整除时,后手玩家所要面临的情况是:无论怎么取都不可能取完石头。如果先手玩家能够保证后手玩家一直面临石头个数 n 能够被(m+1)整除,那么最后一次,后手玩家面临的情况是:石头的个数是 m+1,所以后手玩家无论怎么取都不可能取完石头,最后只能是先手玩家将石头取完。

所以对于自己来说,取胜的条件是:自己面临的石头个数情况是 n%(m+1)!= 0;然后自己取石头使石头个数能够被(m+1)整数。

(二)多堆取石头:

这里我转载一位大佬的博客:博弈论石子游戏——nim 游戏_[模板]nim游戏_Wu_L7的博客-CSDN博客

题目描述:

地上有 n 堆石子(每堆石子数量小于 10^4),每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉,可以取完,不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手,且告诉你这 n 堆石子的数量,他想知道是否存在先手必胜的策略。

题目思路:

必胜策略,即当你执行最后一步后,你的对手已无石子可取,他必败你必胜。最后局面是地上各个石子堆已无石子可取,假设 ai 代表第 i 个石子堆中的石子数,则 ai = 0(i ≤ n)。即可得,a1^a2^a3^……^an=0(^表示异或),令ans = a1^a2^a3^……^an,要想必胜,说明最后的局面一定是ans==0,那我只需要满足,我每次操作完使得ans==0即可,那么每次留给对手的局面都是ans==0(怎么实现后面讲),并且石子的初始数确定,每次都取走一部分的石子,在有限的步数内肯定会取完,当执行到最后一步ans==0时,恰好最后的石子被你取完,你必胜。

那么,判断是否存在先手必胜策略这一问题,即可一开始检验石子堆中的ans是否为0,当ans为0时,你面对的是ans==0的局面,你的任意操作都会使得当前ans不为0,你的对手又足够聪明,那你每执行一步,他都会再次把ans==0的局面返还给你,那你最后必输;当ans不为0时,你先手,你又足够聪明,你每次执行后都可以把ans==0的局面留给对手,最后你必胜。

小tip:

为什么每次操作之后都会使得ans==0转化成ans != 0,并且足够聪明的你执行完一次操作之后又能把ans != 0变成ans==0?

1、ans==0执行一次操作之后为什么会转化为ans != 0?

异或,即是把每个ai中转化为二进制的形式,再对每一个位置的所有0和1进行异或操作,举个例子:5^3=6(0101^0011=0110)。而ans = a1^a2^a3^……^an,每次只能对一个石子堆操作,即每次操作只会影响ai(i ≤ n)中的一个,假设是对ak进行操作,则(没操作前的ak)^(其它ai的异或)==0,说明(其它ai的异或)==(没操作前的ak)(因为两个相同的数相异或结果才为0),现在对ak进行操作,则ak的值肯定会变化,其二进制形式也随之变化,则(操作后的ak)!=(其它ai的异或),所以(操作后的ak)^(其它ai的异或)!= 0,则ans != 0。

2、为什么足够聪明的你执行完一次操作之后又能把ans != 0变成ans==0?

ans = a1^a2^a3^……^an,是各个位置多个0和1的异或,因为ans != 0,说明一定有个别位置中1的个数为奇数,则我们可以把该位置上的1去掉一个或增加一个,即取走一些石头,使之为偶数,则ans==0。例如:10^5=15(1010^0101=1111),这是最经典的了,我们可以从10中拿走5,则5^5=0,所以想说明的是,总有办法使ans==0。
 

注:

这里有个简单的取石头个数的技巧(异或的简单计算方法):

例如:7和14的异或

7的二进制序列为:  0111

14的二进制序列为:1110

则异或结果是:1001 == 9

简便计算:

7可以写成2的倍数之和:4+2+1

14可以写成2的倍数之和:8+4+2+0

然后约去两部分相同的部分:7剩余一个1;14剩余一个8,再将剩余的数相加,其结果就是异或结果9。


本次内容到此结束了!如果你觉得这篇博客对你有帮助的话 ,希望你能够给我点个赞,鼓励一下我。感谢感谢……

参考资料:

【尼姆游戏(学霸就是这样欺负人的)】https://www.bilibili.com/video/BV1ek4y1q7JD?vd_source=564abed1c36a31978eb9de7cdc6668d2

博客原文链接:https://blog.csdn.net/Wu_L7/article/details/126266519

同时感谢上面两位创作者的输出,让我受益匪浅。

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