手把手利用PyTorch实现扩散模型DDPM

DDPM代码实现
- 神经网络
- - 定义辅助函数
  - 位置嵌入
  - ResNet block
  - 注意力模块
  - 分组归一化
  - Conditional U-Net
- 定义前向扩散过程
- 定义PyTorch数据集+DataLoader
- 采样
- 训练模型
- 采样
- 后续阅读
参考链接

上一篇博文已经手把手推导了扩散模型DDPM，本文利用PyTorch在Google Colab notebook中实现扩散模型。

DDPM代码实现

注意，扩散模型有几种观点。在这里，我们采用discrete-time（潜变量模型）的观点，但请务必查看其他观点。

神经网络

神经网络需要在特定的时间步接收噪声图像，并返回预测的噪声。需要注意的是，预测的噪声是一个与输入图像具有相同大小/分辨率的张量。因此从技术上讲，网络接收和输出具有相同形状的张量。在这种情况下，可以使用什么类型的神经网络呢？

在这里通常使用的方法与自编码器（Autoencoder）非常相似，你可能还记得它出现在典型的“intro to deep learning门”教程中。Autoencoders在encoder和decoder之间具有一个所谓的“bottleneck”层。编码器首先将图像编码为较小的隐藏表示，称为“bottleneck”，然后解码器将该隐表示解码回实际图像。这迫使网络在瓶颈层中仅保留最重要的信息。

在体系结构方面，DDPM 的作者采用了一个 U-Net 结构，该结构由（Ronneberger等人，2015）引入，当时在医学图像分割领域取得了最先进的结果。这个网络，像任何自编码器一样，由一个位于中间的瓶颈层组成，确保网络仅学习最重要的信息。重要的是，它在编码器和解码器之间引入了残差连接，大大改善了梯度流动（灵感来自于 He等人，2015年的 ResNet）。
U-net
如图所示，U-Net 模型首先对输入进行下采样（即在空间分辨率方面使输入变小），然后进行上采样。

接下来，我们逐步实现这个网络。

!pip install -q -U einops datasets matplotlib tqdm

导入相关依赖库

import math
from inspect import isfunction
from functools import partial%matplotlib inline

import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm.auto import tqdm
from einops import rearrange, reduce
from einops.layers.torch import Rearrangeimport torch
from torch import nn, einsum
import torch.nn.functional as F

定义辅助函数

首先，定义一些在实现神经网络时将使用的辅助函数和类。重要的是，定义了一个残差模块，它将输入简单地添加到特定函数的输出中（换句话说，将残差连接添加到特定函数中）。

def exists(x):return x is not Nonedef default(val, d):if exists(val):return valreturn d() if isfunction(d) else ddef num_to_groups(num, divisor):groups = num // divisorremainder = num % divisorarr = [divisor] * groupsif remainder > 0:arr.append(remainder)return arrclass Residual(nn.Module):def __init__(self, fn):super().__init__()self.fn = fndef forward(self, x, *args, **kwargs):return self.fn(x, *args, **kwargs) + x

我们还为上采样和下采样操作定义了别名。

def Upsample(dim, dim_out=None):return nn.Sequential(nn.Upsample(scale_factor=2, mode='nearest'),nn.Conv2d(dim, default(dim_out, dim), 3, padding=1),)def Downsample(dim, dim_out=None):# 不再有阶梯卷积或池return nn.Sequential(Rearrange("b c (h p1) (w p2) -> b (c p1 p2) h w", p1=2, p2=2),nn.Conv2d(dim * 4, default(dim_out, dim), 1),)

位置嵌入

由于神经网络的参数在不同时间（噪声水平）之间共享，作者采用了受 Transformer（Vaswani et al., 2017）启发的正弦位置嵌入（sinusoidal position embeddings）来编码 $t$ 。这使得神经网络可以“know”它正在处理批次中的每个图像的特定时间步（噪声水平）。

SinusoidalPositionEmbeddings 模块接受形状为（batch_size，1）的张量作为输入（即批次中多个带噪声图像的噪声水平），并将其转换为形状为（batch_size，dim）的张量，其中 dim 是位置嵌入的维度。然后将其添加到每个残差块中，我们将在后面看到。

class SinusoidalPositionEmbeddings(nn.Module):def __init__(self, dim):super().__init__()self.dim = dimdef forward(self, time):device = time.devicehalf_dim = self.dim // 2embeddings = math.log(10000) / (half_dim - 1)embeddings = torch.exp(torch.arange(half_dim, device=device) * -embeddings)embeddings = time[:, None] * embeddings[None, :]embeddings = torch.cat((embeddings.sin(), embeddings.cos()), dim=-1)return embeddings

总之就是将 $t$ 编码为embedding，和原本的输入一起进入网络，让网络“知道”当前的输入属于哪个step。

ResNet block

接下来，定义 U-Net 模型的核心构建块。DDPM 的作者使用了 Wide ResNet block（Zagoruyko et al., 2016），但 Phil Wang 将标准卷积层替换为“weight standardized”版本，这与分组归一化的结合效果更好（有关详细信息，请参见（Kolesnikov et al., 2019））。

class WeightStandardizedConv2d(nn.Conv2d):"""https://arxiv.org/abs/1903.10520weight standardization purportedly works synergistically with group normalization"""def forward(self, x):eps = 1e-5 if x.dtype == torch.float32 else 1e-3weight = self.weightmean = reduce(weight, "o ... -> o 1 1 1", "mean")var = reduce(weight, "o ... -> o 1 1 1", partial(torch.var, unbiased=False))normalized_weight = (weight - mean) * (var + eps).rsqrt()return F.conv2d(x,normalized_weight,self.bias,self.strides,self.padding,self.dilation,self.groups,)class Block(nn.Module):def __init__(self, dim, dim_out, groups=8):super().__init__()self.proj = WeightStandardizedConv2d(dim, dim_out, 3, padding=1)self.norm = nn.GroupNorm(groups, dim_out)self.act = nn.SiLU()def forward(self, x, scale_shift=None):x = self.proj(x)x = self.norm(x)if exists(scale_shift):scale, shift = scale_shiftx = x * (scale + 1) + shiftx = self.act(x)return xclass ResnetBlock(nn.Module):"""https://arxiv.org/abs/1512.03385"""def __init__(self, dim, dim_out, *, time_emb_dim=None, groups=8):super().__init__()self.mlp = (nn.Sequential(nn.SiLU(), nn.Linear(time_emb_dim, dim_out * 2))if exists(time_emb_dim)else None)self.block1 = Block(dim, dim_out, groups=groups)self.block2 = Block(dim_out, dim_out, groups=groups)self.res_conv = nn.Conv2d(dim, dim_out, 1) if dim != dim_out else nn.Identity()def forward(self, x, time_emb = None):scale_shift = Noneif exists(self.mlp) and exists(time_emb):time_emb = self.mlp(time_emb)time_emb = rearrange(time_emb, "b c -> b c 1 1")scale_shift = time_emb.chunk(2, dim=1)h = self.block1(x, scale_shift=scale_shift)h = self.block2(h)return h + self.res_conv(x)

注意力模块

现在，定义注意力模块，这是 DDPM 的作者在卷积块之间添加的。注意力是著名的 Transformer 架构（Vaswani et al., 2017）的构建块，在人工智能的各个领域，从自然语言处理和视觉到蛋白质折叠都取得了巨大的成功。Phil Wang 使用了两种注意力的变体：一种是常规的多头自注意力（multi-head self-attention）（就像在 Transformer 中使用的那样），另一种是线性注意力变体（linear attention variant）（Shen et al., 2018），其时间和内存要求与序列长度线性缩放，而不是常规注意力的二次缩放。

关于注意力机制的详细解释，请参阅 Jay Allamar 的精彩博客文章。

class Attention(nn.Module):def __init__(self, dim, heads=4, dim_head=32):super().__init__()self.scale = dim_head ** -0.5self.heads = headshidden_dim = dim_head * headsself.to_qkv = nn.Conv2d(dim, hidden_dim * 3, 1, bias=False)self.to_out = nn.Conv2d(hidden_dim, dim, 1)def forward(self, x):b, c, h, w = x.shapeqkv = self.to_qkv(x).chunk(3, dim=1)q, k, v = map(lambda t: rearrange(t, "b (h c) x y -> b h c (x y)", h=self.heads), qkv)q = q * self.scalesim = einsum("b h d i, b h d j -> b h i j", q, k)sim = sim - sim.amax(dim=-1, keepdim=True).detach()attn = sim.softmax(dim=-1)out = einsum("b h i j, b h d j -> b h i d", attn, v)out = rearrange(out, "b h (x y) d -> b (h d) x y", x=h, y=w)return self.to_out(out)class LinearAttention(nn.Module):def __init__(self, dim, heads=4, dim_head=32):super().__init__()self.scale = dim_head ** -0.5self.heads = headshidden_dim = dim_head * headsself.to_qkv = nn.Conv2d(dim, hidden_dim * 3, 1, bias=False)self.to_out = nn.Sequential(nn.Conv2d(hidden_dim, dim, 1), nn.GroupNorm(1, dim))def forward(self, x):b, c, h, w = x.shapeqkv = self.to_qkv(x).chunk(3, dim=1)q, k, v = map(lambda t: rearrange(t, "b (h c) x y -> b h c (x y)", h=self.heads), qkv)q = q.softmax(dim=2)k = k.softmax(dim=-1)q = q * self.scalecontext = torch.einsum("b h d n, b h e n -> b h d e", k, v)out = torch.einsum("b h d e, b h d n -> b h e n", context, q)out = rearrange(out, "b h c (x y) -> b (h c) x y", h=self.heads, x=h, y=w)return self.to_out(out)

分组归一化

DDPM 的作者在 U-Net 的卷积/注意力层之间交错使用了分组归一化（group normalization）（Wu et al., 2018）。在下面，定义了一个 PreNorm 类，该类将在注意力层之前应用分组归一化，正如我们将在后面看到的。值得注意的是，关于在 Transformer 中是在注意力之前还是之后应用归一化一直存在争议。

class PreNorm(nn.Module):def __init__(self, dim, fn):super().__init__()self.fn = fnself.norm = nn.GroupNorm(1, dim)def forward(self, x):x = self.norm(x)return self.fn(x)

Conditional U-Net

现在，我们已经定义了所有构建块（position embeddings，ResNet blocks，attention和group normalization），现在该定义整个神经网络了。回想一下网络 $\boldsymbol{\epsilon}_\theta\left(\mathbf{x_t}, t\right)$ 的工作是获取一批有噪声的图像及其各自的噪声水平，并输出添加到输入的噪声。更正式地说：

网络采集一批形状为(batch_size, num_channels, height, width)的噪声图像和一批形状为 (batch_size, 1)的噪声水平作为输入，并返回一个形状为 (batch_size, num_channels, height, width)的张量

网络构建如下：

首先，在一批有噪声的图像上应用卷积层，并计算噪声水平的位置嵌入（position embeddings）
然后，执行一系列的下采样阶段（downsampling stages）。每个下采样阶段由2个ResNet blocks+ groupnorm+ attention+residual connection+a downsample operation组成
在网络的中间，再次应用ResNet block，与attention交错
接下来，执行一系列上采样阶段（upsampling stages）。每个上采样阶段由2个ResNet blocks + groupnorm +attention + residual connection + an upsample operation组成
最后，在一个卷积层后面应用一个ResNet block。

最终，神经网络就像乐高积木一样层层堆叠（但了解它们是如何工作的很重要）。

class Unet(nn.Module):def __init__(self, dim, init_dim=None, out_dim=None, dim_mults=(1, 2, 4, 8), channels=3, self_condition=False,resnet_block_groups=4):super().__init__()# determine dimensionsself.channels = channelsself.self_condition = self_conditioninput_channels = channels * (2 if self_condition else 1)init_dim = default(init_dim, dim)self.init_conv = nn.Conv2d(input_channels, init_dim, 1, padding=0)  #  changed to 1 and 0 from 7,3dims = [init_dim, *map(lambda m: dim * m, dim_mults)]in_out = list(zip(dims[:-1], dims[1:]))block_klass = partial(ResnetBlock, groups=resnet_block_groups)# time embeddingstime_dim = dim * 4self.time_mlp = nn.Sequential(SinusoidalPositionEmbeddings(dim),nn.Linear(dim, time_dim),nn.GELU(),nn.Linear(time_dim, time_dim),)# layersself.downs = nn.ModuleList([])self.ups = nn.ModuleList([])num_resolutions = len(in_out)for ind, (dim_in, dim_out) in enumerate(in_out):is_last = ind >= (num_resolutions - 1)self.downs.append(nn.ModuleList([block_klass(dim_in, dim_in, time_emb_dim=time_dim),block_klass(dim_in, dim_in, time_emb_dim=time_dim),Residual(PreNorm(dim_in, LinearAttention(dim_in))),Downsample(dim_in, dim_out)if not is_lastelse nn.Conv2d(dim_in, dim_out, 3, padding=1),]))mid_dim = dims[-1]self.mid_block1 = block_klass(mid_dim, mid_dim, time_emb_dim=time_dim)self.mid_attn = Residual(PreNorm(mid_dim, Attention(mid_dim)))self.mid_block2 = block_klass(mid_dim, mid_dim, time_emb_dim=time_dim)for ind, (dim, dim_out) in enumerate(reversed(in_out)):is_last = ind == (len(in_out) - 1)self.ups.append(nn.ModuleList([block_klass(dim_out + dim_in, dim_out, time_emb_dim=time_dim),block_klass(dim_out + dim_in, dim_out, time_emb_dim=time_dim),Residual(PreNorm(dim_out, LinearAttention(dim_out))),Upsample(dim_out, dim_in)if not is_lastelse nn.Conv2d(dim_out, dim_in, 3, padding=1),]))self.out_dim = default(out_dim, channels)self.final_res_block = block_klass(dim * 2, dim, time_emb_dim=time_dim)self.final_conv = nn.Conv2d(dim, self.out_dim, 1)def forward(self, x, time, x_self_cond=None):if self.self_condition:x_self_cond = default(x_self_cond, lambda: torch.zeros_like(x))x = torch.cat((x_self_cond, x), dim=1)x = self.init_conv(x)r = x.clone()t = self.time_mlp(time)h = []for block1, block2, attn, downsample in self.downs:x = block1(x, t)h.append(x)x = block2(x, t)x = attn(x)h.append(x)x = downsample(x)x = self.mid_block1(x, t)x = self.mid_attn(x)x = self.mid_block2(x, t)for block1, block2, attn, upsample in self.ups:x = torch.cat((x, h.pop()), dim=1)x = block1(x, t)x = torch.cat((x, h.pop()), dim=1)x = block2(x, t)x = attn(x)x = upsample(x)x = torch.cat((x, r), dim=1)x = self.final_res_block(x, t)return self.final_conv(x)

定义前向扩散过程

forward diffusion process在 $T$ 个时间步内逐渐将噪声从真实分布添加到图像中，这是根据variance schedule发生的。最初的DDPM作者采用了linear schedule：

我们将前向过程的方差设置为线性增加的常数 from $\beta_1=10^{-4}$ to $\beta_T=0.02$ .

然而，在（Nichol et al.，2021）中表明，使用cosine schedule可以获得更好的结果。下面，我们定义 $T$ 个时间步的不同的schedule（我们稍后会选择一个）：

def cosine_beta_schedule(timesteps, s=0.008):"""cosine schedule as proposed in https://arxiv.org/abs/2102.09672"""steps = timesteps + 1x = torch.linspace(0, timesteps, steps)alphas_cumprod = torch.cos(((x / timesteps) + s) / (1 + s) * torch.pi * 0.5) ** 2alphas_cumprod = alphas_cumprod / alphas_cumprod[0]betas = 1 - (alphas_cumprod[1:] / alphas_cumprod[:-1])return torch.clip(betas, 0.0001, 0.9999)def linear_beta_schedule(timesteps):beta_start = 0.0001beta_end = 0.02return torch.linspace(beta_start, beta_end, timesteps)def quadratic_beta_schedule(timesteps):beta_start = 0.0001beta_end = 0.02return torch.linspace(beta_start**0.5, beta_end**0.5, timesteps) ** 2def sigmoid_beta_schedule(timesteps):beta_start = 0.0001beta_end = 0.02betas = torch.linspace(-6, 6, timesteps)return torch.sigmoid(betas) * (beta_end - beta_start) + beta_start

首先，使用T=300个时间步的linear schedule，并从 $\beta_t$ 中定义我们需要的变量，例如，方差的累积乘积 $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \bat at position 1: \̲b̲a̲t̲{\alpha}_t$ 。下面的每个变量都只是一维张量，存储从 $t$ 到 $T$ 的数值。注意，我们还定义了一个extract函数，它允许我们按照 $t$ 提取一个批次的索引。

timesteps = 300# define beta schedule
betas = linear_beta_schedule(timesteps=timesteps)# define alphas
alphas = 1. - betas
alphas_cumprod = torch.cumprod(alphas, axis=0)
alphas_cumprod_prev = F.pad(alphas_cumprod[:-1], (1, 0), value=1.0)
sqrt_recip_alphas = torch.sqrt(1.0 / alphas)# calculations for diffusion q(x_t | x_{t-1}) and others
sqrt_alphas_cumprod = torch.sqrt(alphas_cumprod)
sqrt_one_minus_alphas_cumprod = torch.sqrt(1. - alphas_cumprod)# calculations for posterior q(x_{t-1} | x_t, x_0)
posterior_variance = betas * (1. - alphas_cumprod_prev) / (1. - alphas_cumprod)def extract(a, t, x_shape):batch_size = t.shape[0]out = a.gather(-1, t.cpu())return out.reshape(batch_size, *((1,) * (len(x_shape) - 1))).to(t.device)

我们将用猫图像说明如何在扩散过程的每个时间步中添加噪声：

from PIL import Image
import requestsurl = 'http://images.cocodataset.org/val2017/000000039769.jpg'
image = Image.open(requests.get(url, stream=True).raw) # PIL image of shape HWC
image

cat
将噪声添加到Pytorch张量，而不是Pillow Images中。首先定义能够将PIL图像转换为Pytorch张量（可以在上面添加噪声）的图像转换，反之亦然。

这些转换非常简单：我们首先通过除以255（其结果能在[0,1]范围）,然后确保它们在[-1,1]范围。DDPM 文中提到:

我们假设图像数据由在集合{ 0 ,1 、. . . , 255}中的整数组成，然后线性缩放到[−1, 1]。这确保了神经网络逆向过程能够从标准正态先验 $p(x_T)$ 开始且一致缩放的输入上运行。"

from torchvision.transforms import Compose, ToTensor, Lambda, ToPILImage, CenterCrop, Resizeimage_size = 128
transform = Compose([Resize(image_size),CenterCrop(image_size),ToTensor(),  # turn into torch Tensor of shape CHW, divide by 255Lambda(lambda t: (t * 2) - 1),])x_start = transform(image).unsqueeze(0)
x_start.shape

输出结果：
torch.Size([1, 3, 128, 128])

另外，还定义了反向变换（reverse transform），它接收一个PyTorch张量，其中包含[-1,1]，并将它们重新转换回PIL图像：

import numpy as npreverse_transform = Compose([Lambda(lambda t: (t + 1) / 2),Lambda(lambda t: t.permute(1, 2, 0)), # CHW to HWCLambda(lambda t: t * 255.),Lambda(lambda t: t.numpy().astype(np.uint8)),ToPILImage(),
])
reverse_transform(x_start.squeeze())

cat
现在，可以像论文中定义前向扩散过程:

# forward diffusion (using the nice property)
def q_sample(x_start, t, noise=None):if noise is None:noise = torch.randn_like(x_start)sqrt_alphas_cumprod_t = extract(sqrt_alphas_cumprod, t, x_start.shape)sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t = extract(sqrt_one_minus_alphas_cumprod, t, x_start.shape)return sqrt_alphas_cumprod_t * x_start + sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t * noise

在特定的时间步中进行测试:

def get_noisy_image(x_start, t):# add noisex_noisy = q_sample(x_start, t=t)# turn back into PIL imagenoisy_image = reverse_transform(x_noisy.squeeze())return noisy_image

# take time step
t = torch.tensor([40])get_noisy_image(x_start, t)

noise cat
可视化不同时间步的结果：

import matplotlib.pyplot as plt# use seed for reproducability
torch.manual_seed(0)# source: https://pytorch.org/vision/stable/auto_examples/plot_transforms.html#sphx-glr-auto-examples-plot-transforms-py
def plot(imgs, with_orig=False, row_title=None, **imshow_kwargs):if not isinstance(imgs[0], list):# Make a 2d grid even if there's just 1 rowimgs = [imgs]num_rows = len(imgs)num_cols = len(imgs[0]) + with_origfig, axs = plt.subplots(figsize=(200,200), nrows=num_rows, ncols=num_cols, squeeze=False)for row_idx, row in enumerate(imgs):row = [image] + row if with_orig else rowfor col_idx, img in enumerate(row):ax = axs[row_idx, col_idx]ax.imshow(np.asarray(img), **imshow_kwargs)ax.set(xticklabels=[], yticklabels=[], xticks=[], yticks=[])if with_orig:axs[0, 0].set(title='Original image')axs[0, 0].title.set_size(8)if row_title is not None:for row_idx in range(num_rows):axs[row_idx, 0].set(ylabel=row_title[row_idx])plt.tight_layout()

plot([get_noisy_image(x_start, torch.tensor([t])) for t in [0, 50, 100, 150, 199]])

不同时间步结果可视化
在给定模型的情况下定义损失函数：

def p_losses(denoise_model, x_start, t, noise=None, loss_type="l1"):if noise is None:noise = torch.randn_like(x_start)x_noisy = q_sample(x_start=x_start, t=t, noise=noise)predicted_noise = denoise_model(x_noisy, t)if loss_type == 'l1':loss = F.l1_loss(noise, predicted_noise)elif loss_type == 'l2':loss = F.mse_loss(noise, predicted_noise)elif loss_type == "huber":loss = F.smooth_l1_loss(noise, predicted_noise)else:raise NotImplementedError()return loss

dnoise_model就是上面定义的U-Net。在真实噪声和预测噪声之间使用Huber损失。

定义PyTorch数据集+DataLoader

这里定义一个常规的PyTorch数据集。该数据集仅由真实数据集（如Fashion、MNIST、CIFAR-10或ImageNet）的图像组成，线性缩放至 $[- 1, 1]$ 。
每个图像都被调整为相同的大小，同时是随机水平翻转的。从论文中：

我们在 CIFAR10 的训练过程中使用了随机水平翻转；我们尝试了有翻转和没有翻转的训练，发现翻转可以稍微提高样本质量。

在这里，使用Datasets库轻松地从hub加载 Fashion MNIST 数据集。该数据集由已经具有相同分辨率的图像组成，即 28x28。

from datasets import load_dataset# load dataset from the hub
dataset = load_dataset('fashion_mnist')
image_size = 28
channels = 1
batch_size = 128

接下来，定义一个函数，将在整个数据集上即时应用它。为此使用该with_transform功能。该函数只是应用了一些基本的图像预处理：随机水平翻转、重新缩放并最终使它们在[-1,1]范围。

from torchvision import transforms
from torch.utils.data import DataLoader# define image transformations(e.g. using torchvision)
transform = Compose([transforms.RandomHorizontalFlip(),transforms.ToTensor(),transforms.Lambda(lambda t: (t * 2) -1)
])# define function
def transforms(examples):examples["pixel_values"] = [transform(image.convert("L")) for image in examples["image"]]del examples["image"]return examplestransformed_dataset = dataset.with_transform(transforms).remove_columns("label")# create dataloader
dataloader = DataLoader(transformed_dataset["train"], batch_size=batch_size, shuffle=True)

batch = next(iter(dataloader))
print(batch.keys())  # dict_keys(['pixel_values'])

采样

由于将在训练期间从模型中采样（来跟踪进度），因此定义了下面的代码。采样方法总结如下：
Sampling
从扩散模型生成新图像是通过逆扩散过程来实现的：从 $T$ 开始，从高斯分布中采样纯噪声，然后使用神经网络逐渐去噪（使用它学到的条件概率），直到在时间步 $t = 0$ 结束。如上所示，可以得到一个稍微降噪的图像 $x_{t-1}$ 通过使用我们的噪声预测器插入均值的重新参数化。注意，方差是提前知道的。

理想情况下，最终会得到一张看起来像是来自真实数据分布的图像。下面的代码实现了这一点。

@torch.no_grad()
def p_sample(model, x, t, t_index):betas_t = extract(betas, t, x.shape)sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t = extract(sqrt_one_minus_alphas_cumprod, t, x.shape)sqrt_recip_alphas_t = extract(sqrt_recip_alphas, t, x.shape)# Equation 11 in the paper# Use our model (noise predictor) to predict the meanmodel_mean = sqrt_recip_alphas_t * (x - betas_t * model(x, t) / sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t)if t_index == 0:return model_meanelse:posterior_variance_t = extract(posterior_variance, t, x.shape)noise = torch.randn_like(x)# Algorithm 2 line 4:return model_mean + torch.sqrt(posterior_variance_t) * noise # Algorithm 2 (including returning all images)
@torch.no_grad()
def p_sample_loop(model, shape):device = next(model.parameters()).deviceb = shape[0]# start from pure noise (for each example in the batch)img = torch.randn(shape, device=device)imgs = []for i in tqdm(reversed(range(0, timesteps)), desc='sampling loop time step', total=timesteps):img = p_sample(model, img, torch.full((b,), i, device=device, dtype=torch.long), i)imgs.append(img.cpu().numpy())return imgs@torch.no_grad()
def sample(model, image_size, batch_size=16, channels=3):return p_sample_loop(model, shape=(batch_size, channels, image_size, image_size))

训练模型

接下来，以常规 PyTorch 方式训练模型。我们还定义了一些逻辑来定期保存生成的图像，使用上面定义的sample定义的方法。

from pathlib import Pathdef num_to_groups(num, divisor):groups = num // divisorremainder = num % divisorarr = [divisor] * groupsif remainder > 0:arr.append(remainder)return arrresults_folder = Path("./results")
results_folder.mkdir(exist_ok = True)
save_and_sample_every = 1000

下面，定义模型，并将其移动到GPU，还定义了一个标准优化器（Adam）。

from torch.optim import Adamdevice = "cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu"model = Unet(dim=image_size,channels=channels,dim_mults=(1, 2, 4,)
)
model.to(device)optimizer = Adam(model.parameters(), lr=1e-3)

开始训练:

from torchvision.utils import save_imageepochs = 6for epoch in range(epochs):for step, batch in enumerate(dataloader):optimizer.zero_grad()batch_size = batch["pixel_values"].shape[0]batch = batch["pixel_values"].to(device)# Algorithm 1 line 3: sample t uniformally for every example in the batcht = torch.randint(0, timesteps, (batch_size,), device=device).long()loss = p_losses(model, batch, t, loss_type="huber")if step % 100 == 0:print("Loss:", loss.item())loss.backward()optimizer.step()# save generated imagesif step != 0 and step % save_and_sample_every == 0:milestone = step // save_and_sample_everybatches = num_to_groups(4, batch_size)all_images_list = list(map(lambda n: sample(model, batch_size=n, channels=channels), batches))all_images = torch.cat(all_images_list, dim=0)all_images = (all_images + 1) * 0.5save_image(all_images, str(results_folder / f'sample-{milestone}.png'), nrow = 6)

训练过程：

Loss: 0.5570111274719238
Loss: 0.06583500653505325
Loss: 0.06006840616464615
Loss: 0.051015421748161316
Loss: 0.0394190177321434
Loss: 0.04075610265135765
Loss: 0.039987701922655106
Loss: 0.03415030241012573
Loss: 0.030019590631127357
Loss: 0.036297883838415146
Loss: 0.037256866693496704
Loss: 0.03864285722374916
Loss: 0.03298967331647873
Loss: 0.03331328555941582
Loss: 0.027535393834114075
Loss: 0.03803558647632599
Loss: 0.03721949830651283
Loss: 0.03478413075208664
Loss: 0.03918925300240517
Loss: 0.03608154132962227
Loss: 0.027622627094388008
Loss: 0.02948344498872757
Loss: 0.029868196696043015
Loss: 0.03154699504375458
Loss: 0.029723389074206352
Loss: 0.039195798337459564
Loss: 0.032130151987075806
Loss: 0.031276602298021317
Loss: 0.03440115600824356
Loss: 0.030476151034235954

采样

要从模型中采样，可以使用上面定义的采样函数：

# sample 64 images
samples = sample(model, image_size=image_size, batch_size=64, channels=channels)# show a random one
random_index = 5
plt.imshow(samples[-1][random_index].reshape(image_size, image_size, channels), cmap="gray")

采样结果
看起来模型能够生成一件漂亮的 T 恤！请记住，用来训练的数据集的分辨率非常低（28x28）。还可以创建去噪过程的 gif 图像：

import matplotlib.animation as animationrandom_index = 53fig = plt.figure()
ims = []
for i in range(timesteps):im = plt.imshow(samples[i][random_index].reshape(image_size, image_size, channels), cmap="gray", animated=True)ims.append([im])animate = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=50, blit=True, repeat_delay=1000)
animate.save('diffusion.gif')
plt.show()

gif图像

后续阅读

注意，DDPM 论文表明，扩散模型是（无）条件图像生成的一个promising的方向。从DDPM提出到现在已经（极大地）得到了改进，尤其是在文本条件图像生成方面。下面，列出了一些截至到2022年6月7日之前的重要的（但远非详尽的）后续工作：

Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models (Nichol et al., 2021): 发现学习条件分布的方差（除均值外）有助于提高性能。
Cascaded Diffusion Models for High Fidelity Image Generation (Ho et al., 2021): 引入了级联扩散，它包含多个扩散模型的pipeline，可生成分辨率不断提高的图像，用于高保真图像合成。
Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis (Dhariwal et al., 2021): 表明扩散模型可以通过改进 U-Net 架构以及引入分类器引导，达到比SOTA生成式模型更好的效果。
Classifier-Free Diffusion Guidance (Ho et al., 2021): 表明不需要使用分类器来指导扩散模型，只需要使用单个神经网络联合训练条件扩散模型和无条件扩散模型。
Hierarchical Text-Conditional Image Generation with CLIP Latents (DALL-E 2) (Ramesh et al., 2022): 使用先验将文字说明转换为 CLIP 图像嵌入，然后使用扩散模型将其解码为图像。
Photorealistic Text-to-Image Diffusion Models with Deep Language Understanding (ImageGen) (Saharia et al., 2022): 表明将大型预训练语言模型（例如 T5）与级联扩散相结合非常适用于文本到图像合成