期权定价模型系列【2】—期权的希腊字母计算及应用

本篇文章旨在介绍期权常见希腊字母的计算及应用

本专栏更多侧重于理论及文字方面的展示，文章具体的代码可以参考我的另一个专栏【期权量化】。

【期权量化】专栏有同名文章，并且给出了文章的具体代码。

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想了解更多希腊字母的代码，可以参考我的其余文章：

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1.前言

期权价格会受到多个因素的影响，如标的资产价格、时间、波动率等，所以引入希腊字母来衡量不同因素对期权价格的影响程度，即Delta、Gamma、Vega、Theta和Rho，从而更综合的研究期权的影响因素。对于单独希腊值的作用，Delta经常被用做计算期权交易杠杆的指标、期权和期货之间对冲时的对冲比率、表示期权到期时成为实值期权的概率等。Gemma值存在方向性风险，对买权者有利，也常用来衡量Delta的稳定性，特别对于Delta中性策略，需要根据Gamma指标及时调整策略。Vega、Theta、Rho通常分别用作衡量波动率风险、时间成本和利率风险的指标。

2.Delat

2.1计算方式

Delta表示期权价格对标的资产价格变化的敏感度，即标的资产价格变动一个单位时，期权价格的变化量。对于看涨/看跌期权，公式可表达为：

同样，基于期权价格与标的资产价格变化的关系，不难看出以下性质：

0≤𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎𝑐𝑎𝑙𝑙≤1

−1≤𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎𝑝𝑢𝑡≤0

无论是看涨期权还是看跌期权，实值期权的Delta绝对值大于虚值期权Delta绝对值。平值期权Delta绝对值约为0.5。

2.2 Delta的应用

（1）计算杠杆。假设目前黄金期货合约的现货价格为375，有一份3个月后到期的看涨期权，价格为20，Delta=0.8。如果期货合约上涨1%，即3.75，则期权的价格会上涨3.75*0.8=3从涨幅来看，期权合约约上涨15%。则此期权合约的杠杆约为15倍。从实际交易角度来看，当标的资产价格向有利方向变化时，拥有越大绝对值的Delta期权，其价值增长越快；而标的资产价格向不利方向变化时，拥有越小绝对值的Delta期权，其价值下降越小。

（2）对冲指标。由公式可以看出，Delta是期权价格对标的资产价格的偏导数，来测量期权价格对标的资产价格变化的敏感性。因此，Delta可被称作为对冲比率。假设△=0.4，如果买入5手看涨期权，则需要卖出0.4*5=2手对应标的资产的期货合约进行对冲风险；相反的，如果△=-0.4，买入5手看跌期权，则需要买入2手对应标的资产的期货合约对冲风险。

（3）实值概率。一个看涨期权的Delta常常被认为是看涨期权在到期时会是实值的概率。假设行权价为360的黄金看涨期权，△=0.7，那么，12月到期时，此期权的价格有70%的概率会超过360。因此，深度实值期权的Delta绝对值接近1，即深度实值的看涨期权的Delta接近于1.0，而深度实值的看跌期权的Delta接近于-1.0。且期权的虚值程度越深越趋于0。

2.3 Delta倒推行权价

在OTC市场中，期权报价往往采用的是Delta值而不是行权价格，这是一种常见的报价方法。Wystrup在1999年提出了行权价可以表示成Delta的解析解方法，对于看涨期权而言，有：

对于看跌期权而言，有：

例子：

也就是说，为了得到0.25的delta值，需要假设行权价为2217.0587。

2.Gamma

2.1 计算方式

Gamma表示Delta随标的资产价格变化而变化的敏感度。即标的资产价格变动一个单位时，Delta的变化量。对于欧式期权而言，看涨期权与看跌期权的gamma数值是一致的：

Gamma的主要特点为：

（1）同一行权价的看涨期权和看跌期权的Gamma值均相等。其中，买入期权的Gamma为正值，卖出期权的Gamma为负值。

（2）平值期权附近的Gamma最大，实值和虚值期权的Gamma值均较小，且趋于0。

2.2 Gamma的应用

（1）衡量Delta稳定性。Gamma经常作为衡量Delta的稳定性。Gamma越高，意味着Delta对标的资产价格的变化越敏感。例如，当运用Delta值估算期权成为实值的概率时，Gamma值可以表示Delta提供的概率的稳定性。

（2）调整Delta中性对冲。Delta经常作为Delta中性的对冲指标，这里的假设是Delta值维持不变，但实际上，由于Gamma的存在，Delta的值是变化的，如果只单一考虑Delta作为对冲因子，则会产生误差。所以当Gamma值很高时，表明Delta的变化速度比较快，Delta中性交易需要及时调整。

（3）衡量方向性风险。Gamma对买入期权者有利，而对于卖出期权者不利。由于买入期权的Gamma为正值，当价格向有利方向运动，头寸会加速增值，当价格向不利方向运动时，头寸会减速减值。然而，对于卖出期权的负值Gamma，情况相反。值得注意的是做多Gamma时，不要忘记时间上的风险。虽然Gamma对买入期权有利，但往往要承担更多期权时间价值的损耗。相反，空头方虽承担一定负Gamma风险，但却得到时间价值上的优势。