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通俗理解条件熵
前面我们总结了信息熵的概念通俗理解信息熵,这次我们来理解一下条件熵。
1、信息熵以及引出条件熵
我们首先知道信息熵是考虑该随机变量的所有可能取值，即所有可能发生事件所带来的信息量的期望。公式如下：
我们的条件熵的定义是：定义为X给定条件下，Y的条件概率分布的熵对X的数学期望
这个还是比较抽象，下面我们解释一下：
设有随机变量（X,Y），其联合概率分布为
条件熵H（Y|X）表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。
随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X)
2、公式
下面推导一下条件熵的公式：
3、注意
注意，这个条件熵，不是指在给定某个数（某个变量为某个值）的情况下，另一个变量的熵是多少，变量的不确定性是多少？而是期望！
因为条件熵中X也是一个变量，意思是在一个变量X的条件下（变量X的每个值都会取），另一个变量Y熵对X的期望。
这是最容易错的！
4、例子
下面通过例子来解释一下：
假如我们有上面数据：
设随机变量Y={嫁，不嫁}
我们可以统计出，嫁的个数为6/12 = 1/2
不嫁的个数为6/12 = 1/2
那么Y的熵，根据熵的公式来算，可以得到H（Y） = -1/2log1/2 -1/2log1/2
为了引出条件熵，我们现在还有一个变量X，代表长相是帅还是帅，当长相是不帅的时候，统计如下红色所示：
可以得出，当已知不帅的条件下，满足条件的只有4个数据了，这四个数据中，不嫁的个数为1个，占1/4
嫁的个数为3个，占3/4
那么此时的H（Y|X = 不帅） = -1/4log1/4-3/4log3/4
p(X = 不帅) = 4/12 = 1/3
同理我们可以得到：
当已知帅的条件下，满足条件的有8个数据了，这八个数据中，不嫁的个数为5个，占5/8
嫁的个数为3个，占3/8
那么此时的H（Y|X = 帅） = -5/8log5/8-3/8log3/8
p(X = 帅) = 8/12 = 2/3
5、计算结果
有了上面的铺垫之后，我们终于可以计算我们的条件熵了，我们现在需要求：
H（Y|X = 长相）
也就是说，我们想要求出当已知长相的条件下的条件熵。
根据公式我们可以知道，长相可以取帅与不帅俩种
条件熵是另一个变量Y熵对X（条件）的期望。
公式为：
H（Y|X=长相） = p(X =帅)*H（Y|X=帅）+p(X =不帅)*H（Y|X=不帅）
然后将上面已经求得的答案带入即可求出条件熵！
这里比较容易错误就是忽略了X也是可以取多个值，然后对其求期望！！
6、总结
其实条件熵意思是按一个新的变量的每个值对原变量进行分类，比如上面这个题把嫁与不嫁按帅，不帅分成了俩类。
然后在每一个小类里面，都计算一个小熵，然后每一个小熵乘以各个类别的概率，然后求和。
我们用另一个变量对原变量分类后，原变量的不确定性就会减小了，因为新增了Y的信息，可以感受一下。不确定程度减少了多少就是信息的增益。
后面会讲信息增益的概念，信息增益也是决策树算法的关键。
