正题

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大意

画n条线，每次坐标变换为$(x+n,y+(-1{)}^{(i+1)}\ast i)(i=1\sim n)$。给出n，求线穿过的格点数。

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解题思路

首先我们想穿过格点的问题，我们可以无视方向，然后每次就当从$(0,0)$到$(n,i)$划一条线。然后我们可以发现穿过的格点数(算上起点)就是$gcd(n,i)$，因为每次都会穿过$(n/j,i/j)(j=1\sim gcd(n,i))$这些点。
然后我们可以知道答案就是
$$1+\sum _{i=1}^{n}gcd(n,i)$$
但是暴力枚举会超时，我们需要想别的方法
$$\sum _{i=1}^{n}gcd(n,i)=d$$
$$=>\sum _{d=1}^{n}d\ast \sum _{i=1}^n(gcd(i,n)==d)$$
$$\sum _{d=1}^{n}d\ast \sum _{i=1}^{n}gcd(i/d,n/d)=1$$
因为要求$gcd(i/d,n/d)=1$，所以i的个数就是$\phi (n/d)$
所以答案就是
$$\sum _{d=1}^{n}d\times \phi (n/d)$$
由于要求$n/d$是整数，所以我们可以化为
$$1+\sum _{d|n}d\times \phi (n/d)$$
然后暴力枚举约数和暴力求欧拉函数值时间复杂度为$O(\sqrt{n}logn)$

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代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans=1;
ll phi(ll n)//求欧拉函数
{ll ans=n;for (ll i=2;i*i<=n;i++)if (n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while (n%i==0) n/=i;}if (n>1) ans=ans/n*(n-1);return ans;
}
int main()
{//freopen("beats.in","r",stdin);//freopen("beats.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);for (ll i=1;i*i<=n;i++){if (!(n%i)) {ans+=phi(n/i)*i;if (i*i!=n) ans+=n/i*phi(i);}//求约数}printf("%lld",ans);return 0;
}