正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P5283

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题目大意

给定一个序列，求$k$个不同的的$[l..r]$的区间异或值的和最大。

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解题思路

先让$a_i=a_{i}xor{a}_{i-1}$(异或前缀和)。
然后现在问题变成了求$k$对最大的$a_{l}xor{a}_r$的和。

我们考虑$Trie$，之前在The XOR Largest Pair这道题中讲过如何用$Trie$求最大的异或对，然后我们考虑要求不重复。

我们开一个堆，堆中储存一个五元组$(l,r,x,id,val)$，其中$id$表示在$[l..r]$区间中$a_{x}xor{a}_{id-1}$最大。然后$val=a_{x}xor{a}_{id-1}$
然后按照$val$从大到小来。每次$id$可以用可持久化$Trie$在$O(31)$的时间内求出。

然后开始时先将$(1,i,i,id,val)$放入。每次取出一个最顶的统计入答案然后将$(l,id-1,x,id,val)$和$(id+1,r,x,id,val)$放入就好了。

然后证明这个的正确性(其实十分显然)。因为对于$a_x$的目前最优在$id$处而两个区间都不包含$id$所以正确。

时间复杂度$O(((n+k)\log (n+k))+31k)$(我不知道有没有错)

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$code$

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cctype>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10,W=31;
ll n,k,a[N],ans;
inline ll read()
{register ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return (f==1)?x:-x;
}
struct Trie_node{ll a[N*40][2],last[N*40];ll root[N],tot;void Insert(ll val,ll k,ll id,ll p,ll q){if(k<0){last[q]=id;return;}ll c=val>>k&1;if(p) a[q][c^1]=a[p][c^1];a[q][c]=++tot;Insert(val,k-1,id,a[p][c],a[q][c]);last[q]=max(last[a[q][0]],last[a[q][1]]);}ll Ask(ll now,ll val,ll k,ll limit){if(k<0) return last[now];ll c=(val>>k)&1;if(last[a[now][c^1]]>=limit)return Ask(a[now][c^1],val,k-1,limit);elsereturn Ask(a[now][c],val,k-1,limit);}
}Trie;
struct node{ll l,r,x,id,val;node(ll _l=0,ll _r=0,ll _x=0){l=_l;r=_r;x=_x;id=Trie.Ask(Trie.root[r],a[x],W,l);val=a[x]^a[id-1];//printf("(%d,%d,%d,%d)|",l,r,x,id);}
};
bool operator <(const node &a,const node &b)
{return a.val<b.val;
}
priority_queue<node> Heap;
int main()
{n=read();k=read();Trie.root[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++){a[i]=a[i-1]^read();Trie.root[i]=++Trie.tot;Trie.Insert(a[i-1],W,i,Trie.root[i-1],Trie.root[i]);}for(ll i=1;i<=n;i++)Heap.push(node(1,i,i));while(k--){node x=Heap.top();Heap.pop();ans+=x.val;if(x.l<x.id) Heap.push(node(x.l,x.id-1,x.x));if(x.r>x.id) Heap.push(node(x.id+1,x.r,x.x));}printf("%lld",ans);
}