离散哈特莱变换(DHT)及快速哈特莱变换(FHT)学习
说在前边
最近复习\(DSP\)的时候，发现了一个号称专门针对离散实序列的变换，经分析总运算量为普通\(FFT\)的几乎一半，而且完全没有复数。这么强的吗？于是花了一个下午，去学习了一下。。。于是去图书馆翻了几乎所有的\(dsp\)课本。。。发现了这本书 西安电子科技大学出版社《数字信号处理》第二版！竟然花了一节在讲\(DHT\)和\(FHT\)！竟然还有附录FORTRAN代码（虽然一堆错）！这里把这个东西稍微普及一下。。。不过估计没人用的上
离散哈特莱变换(DHT)
引入
对于序列\(x(n)\)其\(N\)点\(DFT\)具有简单的共轭对称性，即\[X(N - k) = X^*(k), k = 0, 1 ... ,N-1 \]
所以只要计算\(X(k)\)的前\(N/2\)个值，则后\(N/2\)可以通过上式求得，\(X(k)\)的\(N/2\)个复数正好对应\(N\)个实数数据(\(N\)点实序列\(DFT\)，也可以通过把\(N\)个实数，压成\(N/2\)个复数，再利用共轭对称性求解，这里不做详解)。由此可见，一个\(N\)点实序列的\(DFT\)，完全可由\(N\)个实数数据确定。由此，我们引出一种直接对于实序列进行实数域变换的离散哈特莱变换(\(DHT\))。\(DHT\)将\(x(n)\)看成实数数据，而不是像\(DFT\)一样看作虚部为\(0\)的复数，因此节省了一半的空间，运算效率也提升了近一倍，且\(DFT\)与\(DHT\)之间存在简单的关系，容易实现相互转换。
预备知识
- \(DFT\)的意义
- \(FFT\)实现
- 最好学过\(DSP\)
定义
设\(x(n), n = 0, 1,..., N-1\)，为一实序列，其\(DHT\)定义为
\[ X_H(k) = DHT[ x(n)] = \sum _{n=0}^{N-1} x(n)cas(\frac{2\pi}{N}kn), k = 0,1, ... , N-1 \]
式中\(cas(a) = cos(a) + sin(a)\)逆变换(\(IDHT\))为
\[ x(n) = DHT[ X_H(k)] = \frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1} X(k)cas(\frac{2\pi}{N}kn), n = 0,1, ... , N-1 \]
\(DHT\)的正交证明：
\[ \sum_{k=0}^{N-1} cas(\frac{2\pi}{N}kn)cas(\frac{2\pi}{N}km) = \sum_{k=0}^{N-1}[cos(\frac{2\pi}{N}k(n-m)) + sin(\frac{2\pi}{N}k(n+m))] = \left\{\begin{array}{cc} N, & k = 0\\ 0, & k \neq 0 \\ \end{array}\right. \]
DHT与DFT的关系
用\(X(k)\)表示实序列\(x(n)\)的\(DFT\)，用\(X_H(k)\)表示\(x(n)\)的\(DHT\)，分别用\(X_{He}(k)\)， \(X_{Ho}(k)\)表示\(X_H(k)\)的偶对称分量与奇对称分量，即
\[ X_H(k) = X_{He}(k) + X_{Ho}(k) \]
其中
\[ X_{He}(k) = \frac{1}{2}[X_H(k) + X_H(N-k)]\\ X_{Ho}(k) = \frac{1}{2}[X_H(k) - X_H(N-k)]\\ X(k) = X_{He}(k) - jX_{Ho}(k)\\ X_H(k) = Re[X(k)] - Im[X(k)]\\ X(k) = \frac{1}{2}[X_H(k)+X_H(N-k)] - \frac{1}{2}j[X_H(k)-X_H(N-k)] \]
利用上面这些性质，我们可以很容易的将\(DFT\)与\(DHT\)进行变换，并且又因为这个原因\(X_H(k)\)的周期为\(N\)(隐含周期性)。
DHT的优点
- \(DHT\)为实值，避免了复数运算
- \(DHT\)正反变换形式基本一致
- \(DHT\)与\(DFT\)的转换容易实现
DHT的性质
- 线性性
- \(DHT\)不改变\(x(n)\)奇偶性
- 循环卷积定理
若\(x_1(n) \leftrightarrow X_{1H}(k), ~~x_2(n) \leftrightarrow X_{2H}(k)\)则
\[ x_1(n) \otimes x_2(n) \leftrightarrow X_{2H}(k)X_{1He}(k) + X_{2H}(N-k)X_{1Ho}(k) \]
或
\[ x_1(n) \otimes x_1(n) \leftrightarrow X_{1H}(k)X_{2He}(k) + X_{1H}(N-k)X_{2Ho}(k) \]
值得注意的是，相比于\(DFT\)的卷积定理，\(DHT\)的运算更加复杂，这一点把这个算法的在竞赛中的实用性大大降低了。。。毕竟我们就是为了加速卷积，不过他空间上的优势还是很名明显的。
快速哈特莱变换(FHT)
基2 DIT-FHT算法
与\(FFT\)算法一样，\(FHT\)也可以，用基\(4\),基\(8\)，分裂基等方式优化，这里我们讨论最基础的基\(2\) 快速\(DHT\)算法。
\(x(n)\)的\(N=2^M\)点\(DHT\)：
\[ X_H(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)cas(\frac{2\pi}{N}kn) \]
对\(x(n)\)进行奇偶抽取
\[ x_0(r) = x(2r)\\ x_1(r) = x(2r+1) \]
带入后，与\(DFT\)比较可得，\(cas(\frac{2\pi}{N}k(2r+1))\)不是指数函数，所以我们通过
\[ cas(a + b) = cas(a)cas(b) + cas(-a)sin(b) \]
推导可得：
\[ X_H(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1} x_0(r)cas(\frac{2\pi}{N/2}rk) + cos(\frac{2\pi}{N}k)\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)cas(\frac{N}{2}rk) \\ + sin(\frac{2\pi}{N}k)\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)cas(-\frac{2\pi}{N/2}rk) \]
令\(X_{0H}(k) = DHT[x_0(n)]\)，\(X_{1H}(k) = DHT[x_1(n)]\)，可以写成：
\[ X_H(k) = X_{0H}(k) + cos(\frac{2\pi}{N}k)X_{1H}(k)+sin(\frac{2\pi}{N}k)X_{1H}(\frac{N}{2}-1) \]
相比于\(DIT-DFT\)该式中，多了一项\(X_{1H}(\frac{N}{2}-k)\)。所以可用\(X_{0H}(k)\),\(X_{1H}(k)\),\(X_{0H}(\frac{N}{2}-k)\),\(X_{0H}(\frac{N}{2}+k)\)四个点同址计算出\(X_{H}(k)\),\(X_{H}(\frac{N}{2}+k)\),\(X_{H}(\frac{N}{2}-k)\),\(X_{H}(N-k)\)，与\(FFT\)中的蝶形运算类似，我们叫这种运算“哈特莱蝶形”
令\(C(k)=cos(\frac{2\pi}{N}k)\),\(S(k)=sin(\frac{2\pi}{N}k)\),当\(N \geq 8\)时，有
\[ X_H(k) = X_{0H}(k) + [C(k)X_{1H}(k)+S(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)]\\ X_H(\frac{N}{2}+k) = X_{0H}(k) - [C(k)X_{1H}(k)+S(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)]\\ X_H(\frac{N}{2}-k) = X_{0H}(\frac{N}{2}-k) - [S(k)X_{1H}(k)-C(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)]\\ X_H(N-k) = X_{0H}(\frac{N}{2}-k) - [S(k)X_{1H}(k)-C(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)] \]
信号流图
基2 DIT-FHT的运算量(只考虑蝶形变换)
\(N = 2^M\)
乘法次数：\(NM - 3N + 4\)
加法次数：$ \frac{3}{2}NM - \frac{3}{2}N + 2$
应用
利用\(FHT\)以及循环卷积定理，与DFT类似，我们就可以通过循换卷积来求出两个实序列的线性卷积。
代码 [UR#34]多项式乘法
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define DXT(X,Y) ( XT = (X) , X = ((XT) + (Y)) , Y = ((XT) - (Y)) )
using namespace std;int N1 , N2 , N4 , L1 , L2 , L3 , L4, n , m , rev[2000001];
double XT , A , E , CC1 , SS1 , T1 , T2 , a[2000001] , b[2000001] , c[2000001];void FHT( double X[] , int N , int M ) {for(int i = 0 ; i < N ; ++i) if(i < rev[i]) swap(X[i] , X[rev[i]]);for(int i = 0 ; i < N ; i += 2) DXT(X[i] , X[i+1]);N2 = 1; --M;if(M <= 0) return;while( M-- ) {N4 = N2 , N2 = N4 + N4 , N1 = N2 + N2;E = 6.283185307179586 / N1;for(int j = 0 ; j < N ; j += N1) {L2 = j + N2 , L3 = j + N4 , L4 = L2 + N4;DXT(X[j] , X[L2]) , DXT(X[L3] , X[L4]) , A = E;for(int i = 1 ; i < N4 ; ++i , A += E) {L1 = j + i , L2 = j - i + N2;L3 = L1 + N2 , L4 = L2 + N2;CC1 = cos(A) , SS1 = sin(A);T1 = X[L3] * CC1 + X[L4] * SS1;T2 = X[L3] * SS1 - X[L4] * CC1;XT = X[L1] , X[L1] = XT + T1 , X[L3] = XT - T1;XT = X[L2] , X[L2] = XT + T2 , X[L4] = XT - T2;}}}
}int main() {scanf("%d%d" , &n , &m);for(int x , i = 0 ; i <= n ; ++i) scanf("%d" , &x) , a[i] = (double)x;for(int x , i = 0 ; i <= m ; ++i) scanf("%d" , &x) , b[i] = (double)x;int nn = n + m + 1 , L = 0 , tmp;for(tmp = 1 ; tmp < nn ; tmp <<= 1, ++L) ; nn = tmp;for(int i = 0 ; i < nn ; ++i)rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1 ) | ((i & 1) << (L - 1));FHT(a , nn , L); FHT(b , nn , L);c[0] = b[0] * a[0];for(int i = 1; i < nn; ++i) {T1 = a[i] , T2 = a[nn - i];c[i] = (b[i] * (T1 + T2) + b[nn - i] * (T1 - T2)) * 0.5;}FHT(c , nn , L);for(int i = 0 ; i <= n + m ; ++i) c[i] /= nn;for(int i = 0 ; i <= n + m ; ++i) printf("%d " , (int)(c[i] + 0.5));return 0;
}这份代码比我想像的要慢好多，主要原因是循环卷积定理里面运算的增多，以及蝶形变化中较为麻烦的计算四个位置，还有每次使用\(cosA\)和\(sinA\)都是很大的开销，曾经尝试使用乘法代替每次计算\(cos\)和\(sin\)但是点数\(N\)很大时，精度问题会被放大的很严重，另一个原因是我不会卡常...但是内存上看起来还是比较优秀的，拜托善于优化的同学优化一下，或者有更好的实现的话，也请告诉我。。。不过看起来还是没人会用啊。。。法法塔的历史地位还是很难被替代的吧。。。改日会补上信号流图。～掰掰
