一，什么是二叉搜索树

二叉搜索书又叫二叉排序树或二叉查找树，其左子数上的节点小于根节点；右子树上的节点大于根节点。
如图，就是一颗二叉搜索树。
在这里插入图片描述

二，二叉搜索树的操作及其实现

2.1 插入操作及其实现

二叉搜索树的插入其先根据插入值的大小确定插入的位置，并且，若是有相同的值则不会进行插入。确定位置的依据是我们上述的二叉搜索树的特性：左子树上的节点小于根节点；右子树上的节点大于根节点。
当确定好位置后，我们申请节点，将新节点链接到树中。
下面是插入的两种实现：

非递归：

typedef BSTreeNode<K> Node;public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = _root;//记录其父节点，方便链接while (cur != nullptr)//找位置{if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{return false;}}cur = new Node(key);//链接过程if (parent->_key > key){parent->left = cur;}else{parent->right = cur;}return true;}

递归

	bool InsertR(const K& key){return _InsertR(_root, key);}bool _InsertR(Node*& root,const K& key){if (root == nullptr)//为空则说明已经找好了位置，可以进行插入{Node* cur = new Node(key);root = cur;return true;}if (key < root->_key){_InsertR(root->left, key);}else if (key > root->_key){_InsertR(root->right, key);}else{return false;//遇到相同的值}return true;}

由于在类外无法访问根节点_root，所以无法给_InsertR()传参，因此我们，多写了一层函数，在类里面调用插入的递归函数。这里有一个非常重要的细节就是在传root时我们使用的是引用。这时我们就可以直接进行链接，不需要记录其父节点了。

2.2 查找操作及其实现

其查找利用其二叉搜索树的特性，当树为完全二叉树或满二叉树时，其效率可以达到lgN (N为数的高度）。
下面为查找的两种实现方法：

非递归：

bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key){cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){cur = cur->right;}else{return true;}}return false;}

递归实现

bool _FindR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}if (key < root->_key){_FindR(root->left, key);}else if (key > root->_key){_FindR(root->right, key);}else{return true;}}

2.3 删除操作及其实现

删除操作我们可以分为几种情况：

删除节点没有孩子
删除节点有右孩子
删除节点有左孩子
删除节点有左右孩子
对这四种情况我们又可以进行合并，将1与2，3归为一类。
对于有两个节点的情况，我们在找到要删除节点后，在找到右子树的最小值或左子树的最大值，将其值与删除节点值进行交换，这时，我们就只需要删除右子树最小值或左子树最大值了。
需要注意的是：其右子树最小值或左子树最大值后可能还有节点，因此要进行判断。

非递归：

bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = _root;while (cur != nullptr){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->right;}else{//左为空if (cur->left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->right;}else if (key < parent->_key){parent->left = cur->right;}else{parent->right = cur->right;}delete cur;}else if (cur->right == nullptr)//右为空{if (cur == _root){_root = cur->left;}else if (key < parent->_key){parent->left = cur->left;}else{parent->right = cur->left;}delete cur;}else//都不为空{//先找右子树的最小值Node* Minparent = cur;Node* Min=cur->right;while (Min->left != nullptr){Minparent = Min; Min = Min->left;}std::swap(Min->_key, cur->_key);if (Minparent->left == Min){Minparent->left = Min->right;}else{Minparent->right = Min->right;}delete Min;}return true;}}return false;}

递归：

	bool _EraseR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}if (key < root->_key){_EraseR(root->left, key);}else if (key > root->_key){_EraseR(root->right, key);}else{Node* del = root;//找右子树最小if (root->left == nullptr){root = root->right;}else if (root->right == nullptr){root = root->left;}else{Node* min = root->right;//找右子树最小值while (min->left){min = min->left;}std::swap(root->_key, min->_key);return _EraseR(root->right, key);}delete del;return true;}}

三，构造及其析构

//拷贝构造BSTree(const BSTree<K>& t){_root = Copy_root(t._root);}Node* Copy_root(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* copy_root = new Node(root->_key);copy_root->left = Copy_root(root->left);copy_root->right = Copy_root(root->right);return copy_root;}//赋值重载BSTree& operator=(BSTree<K> T){std::swap(T._root,this->_root);return *this;}//析构~BSTree(){Destory(_root);}void Destory(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destory(root->left);Destory(root->right);delete root;root = nullptr;}

拷贝构造有一些像前序遍历，我们遇到一个节点就构造一个节点，最后在递归返回时将其链接起来。
析构函数则是像后续遍历。

四，二叉搜索树的应用

K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。如，中英文对照。

二叉搜索树的性能：对于插入和删除来说，都必须要先查找：插入查找插入的位置，删除查找删除的节点。因此其查找的性能代表了二叉树的性能。其查找的性能于树的深度有关，但对于同一个集合，其插入的顺序不同，那么形成的树也是不同的。我们期望的最好的情况是它能够形成一个完全二叉树或接近完全二叉树的树。此时他的查找的效率能够达到lgN；但其也有可能会形成一个单支树，此时效率最差，为N。
在这里插入图片描述