以六轴机械臂为例，设机械臂关节空间为q，位置矩阵为p，速度矩阵为v

$$q=[q_0,q_1,q_2,q_3,q_4,q_5]$$

$$p=[x,y,z{]}^T=\left[\begin{array}{c}{f}_x(q)\\ f_y(q)\\ f_z(q)\end{array}\right]$$
联立机械臂速度矩阵、关节空间和位置矩阵的关系如下

$$v=\dot{p}=\left(\begin{array}{c}\frac{d{f}_x}{dt}\\ \frac{d{f}_y}{dt}\\ \frac{d{f}_z}{dt}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_x}{\partial q_0}\frac{d{q}_0}{dt}& \cdots & \frac{\partial f_x}{\partial q_5}\frac{d{q}_5}{dt}\\ \frac{\partial f_y}{\partial q_0}\frac{d{q}_0}{dt}& \cdots & \frac{\partial f_y}{\partial q_5}\frac{d{q}_5}{dt}\\ \frac{\partial f_z}{\partial q_0}\frac{d{q}_0}{dt}& \cdots & \frac{\partial f_z}{\partial q_5}\frac{d{q}_5}{dt}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_x}{\partial q_0}& \cdots & \frac{\partial f_x}{\partial q_5}\\ \frac{\partial f_y}{\partial q_0}& \cdots & \frac{\partial f_y}{\partial q_5}\\ \frac{\partial f_z}{\partial q_0}& \cdots & \frac{\partial f_z}{\partial q_5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ⋮\\ q_5\end{array}\right)$$

将中间矩阵定义为雅克比矩阵J，则

$$J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_x}{\partial q_0}& \cdots & \frac{\partial f_x}{\partial q_5}\\ \frac{\partial f_y}{\partial q_0}& \cdots & \frac{\partial f_y}{\partial q_5}\\ \frac{\partial f_z}{\partial q_0}& \cdots & \frac{\partial f_z}{\partial q_5}\end{array}\right)$$

$$v=J\dot{q}$$

$$\dot{q}=[{\dot{q}}_0,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,{\dot{q}}_4,{\dot{q}}_5]$$

那么雅克比矩阵J可以用来表示从关节速度空间q_dot到关节末端执行空间速度的映射，即一个末端的位置可以由多个关节空间的速度映射得到，即

$$\dot{q}\frac{J}{⟶}v$$

同样，末端执行空间速度F同样可以使用雅克比矩阵映射到关节空间力矩

$$\tau \frac{J^T}{⟶}F$$

$$\tau =J^{T}F$$

例如7轴机械臂，具有冗余的一个关节空间(7x1)q_6，所以在末端执行空间的变换矩阵（6x1）（3x3旋转+3x1平移）进行映射的时候q_6无论处在什么位置，都不会影响末端执行空间的位置和速度，称为零空间